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(5.5)James Stewart Calculus 5th

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The Substitution Rule 替换规则

找到 不定积分 很重要,但是很多时候
很难直接找到对应的 不定积分
比如说:


这个时候,如果我们设


那么


那么,这个时候,我们可以利用u来替换,得出结果



由 链式法则



我们可以得到:


如果这里,我们用 u = g(x) 去替换



或者 把 F' 写成 f,则



The Substitution Rule 替换法则

如果 u = g(x),则



最后转化为 du 和 dx 的运算


例子

下面是一些例子

例子1


我们设



可以得到对应的替换

所以:

例子2

  • 解法1






    所以:
    Paste_Image.png
  • 解法2



    则:




    所以:

例子3







所以

例子4







所以:

例子5







有:


所以:

例子6


因为sinx 的 导数 为 cosx, 则可以想到

则:


所以:

对应的自然对数,可以化简成:



所以,可以推导出

tan的不定积分

Definite Integrals 定积分

定积分,也就是按不定积分变化,在带入值去计算值

The Substitution Rule for Definite Integrals 定积分变化法则(定理6)

同理,有


注意:
这里
自变量改变,对应范围也会改变
不定积分的上下限,由 [a, b] 变为了 [g(a), g(b)]


例子

一些例子

例子7






这里对应的函数的连续可导的,但是,有定理6
需要注意:
自变量改变,对应范围也会改变
当x=0时, u=1; 当x=4时, u=9
所以

例子8







而,对应的范围
由x的[1, 2] 变为 [-2, -7]
所以:

例子9






而,对应的范围
由x的[1, e] 变为 [0, 1]
所以:

对应的图像为:



Symmetry 对称

由前面的替换法则,可以有



  • 证明:

我们可以把对应的过程,分为2部分:




对应的范围,由x的[0, -a] 变为 [0, a]
所以:


即:


这个时候,

  • 如果 f(x) 是 偶函数,有




  • 如果 f(x) 是 奇函数,有





例子

一些例子


例子10


因为

是偶函数,有

所以:

例子11


因为

是奇函数,有

所以


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