The Substitution Rule 替换规则
找到 不定积分 很重要，但是很多时候
很难直接找到对应的 不定积分
比如说：
这个时候，如果我们设
那么
那么，这个时候，我们可以利用u来替换，得出结果
由 链式法则
我们可以得到：
如果这里，我们用 u = g(x) 去替换
则
或者 把 F' 写成 f，则
The Substitution Rule 替换法则
如果 u = g(x)，则
最后转化为 du 和 dx 的运算
例子
下面是一些例子
例子1
我们设
由
可以得到对应的替换
所以：
例子2
-
解法1
设
则
所以：
Paste_Image.png -
解法2
设
则：
所以：
例子3
设
则
所以
例子4
设
则
所以：
例子5
设
则
有：
所以：
例子6
因为sinx 的 导数 为 cosx， 则可以想到
则：
所以：
对应的自然对数，可以化简成：
所以，可以推导出
tan的不定积分
Definite Integrals 定积分
定积分，也就是按不定积分变化，在带入值去计算值
The Substitution Rule for Definite Integrals 定积分变化法则（定理6）
同理，有
注意：
这里
自变量改变，对应范围也会改变
不定积分的上下限，由 [a, b] 变为了 [g(a), g(b)]
例子
一些例子
例子7
设
有
这里对应的函数的连续可导的，但是，有定理6
需要注意：
自变量改变，对应范围也会改变
当x=0时， u=1； 当x=4时， u=9
所以
例子8
设
则
而，对应的范围
由x的[1, 2] 变为 [-2, -7]
所以：
例子9
设
则
而，对应的范围
由x的[1, e] 变为 [0, 1]
所以：
对应的图像为：
Symmetry 对称
由前面的替换法则，可以有
- 证明：
我们可以把对应的过程，分为2部分：
设
对应的范围，由x的[0, -a] 变为 [0, a]
所以：
即：
这个时候，
-
如果 f(x) 是 偶函数，有
则
-
如果 f(x) 是 奇函数，有
则
例子
一些例子
例子10
因为
是偶函数，有
所以：
例子11
因为
是奇函数，有
所以