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1+2+3+...+正无穷=-1/12

来源:二三四教育网
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Introduction

1 + 2 + 3 + ... = -1/12

此结果在复分析、量子力学及弦理论等领域中有所应用。

The process of proof

T1 = 1-1+1-1+1-1+ …
T2 = 1-2+3-4+5-6+ …
T = 1+2+3+4+5+6+ …

也就是说,T是我们要解的问题,而另外两个数列是用来求解T的过程中需要用到的工具,一旦能解开T1、T2,T便能迎刃而解。


那么,就先来看看T1,

T1=1-1+1-1+1-1+…

你看到这个问题,直觉会认为答案应该是「0」,因为:


T1=(1-1)+(1-1)+(1-1)+…
   =( 0 )+( 0 )+( 0 )+…

如果像上头一样把所有的1、-1全部用括弧分组,那么每组括弧里刚好可以正负相抵,最后T1的答案是0。然而,我们也可以把括弧的位置调整一下,那么T1将可以写成下头的形式:

T1=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)…
   =1+( 0 )+( 0 )+( 0 )…

咦!?原本答案应该是「0」的计算式,瞬间变成了「1」!

「不知道是奇数还是偶数,那就加起来取平均吧!所以答案是0.5!」

不知道这个说法?你是否可以接受呢?

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「因为不确定是0或是1,就取平均值当答案,这未免太随便了!」相信你应该是怎么想的,不过如果T1=0.5的结果不成立,那么接下来的推演就无法继续下去了!

事实上,要证明这个结果,除了用取平均的方式外,还有其他的方式

另一种T1的解法如下:

首先,用1減去S1:

1-T1 = 1-(1-1+1-1+1-1+…)
     =1-1+1-1+1-1+1+…
     = T1

→ 2T1 = 1
→ T1 =0.5

除了这两种方式外,也还存在其他证明方式,总之T1=1/2应该是没有太大疑问的。


接著我们来看T2

首先,这是T2:

T2 = 1-2+3-4+5-6+…

那么,两倍的T2,把第二个 T2 往后顺延一格,即〔〕中的内容:

2T2 = T2 + T2
    =1-2+3-4+5-6+…
       +〔1-2+3-4+5-6+… 〕

如果把两列的纵向数字(标记成同色以方便比较)直接相加:

2 T2 = T2 + T2
    =1-2+3-4+5-6+…
       +〔1-2+3-4+5-6+…〕
    =1-1+1-1+1-1+1…

看到「1-1+1-1+1-1+1」,那不就是上头出现过的T1

于是乎:

2T2  = 1-1+1-1+1-1+1…
      = T1
      =1/2

→ T2  =1/4

最后,终于到关键的 T 了,这次从「T-T2」出发:

T - T2 = 1+2+3+4+5+6+… 
      -〔1-2+3-4+5-6+…〕
    = 0+4+0+8+0+12+…

当 T 减去 T2 时,由于两个数列的奇数项是一致的,相减后为0;偶数列的数字相等,但正负号相反,相减后变为两倍,因此变成「4、8、12 …」以4逐渐增加的等差级数。在此,如果把4提到外头:

T - T2 = 4〔 1+ 2+ 3 + … 〕

括弧中的「1+2+3+…」不就是T自身吗,然又 T2 =1/4,因此:

T - T2 = 4T

→ 3T = -T2 = -1/4
→  T = -1/12

→  T = 1+2+3+4+5+6+… = -1/12

History

在拉马努金写给戈弗雷·哈罗德·哈代的第二封信中(日期为1913年2月27日):

“亲爱的先生,我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复,类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究布罗米奇的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他,在我的理论中一个无穷数列 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12。如果我告诉你这个,你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信,如果我暗示我只在一封信中所写的行数,你不可能找出我证明的方法。”

Extended reading

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