高中数学等差数列总结（6篇）

高中数学等差数列总结 篇1

函数是高中数学中极为重要的内容之一，同时它也是贯穿高中数学的主线之一，函数的观点和思想方法贯穿高中数学的全过程。在高一阶段，函数的要求在于基本的初等函数的认识。掌握基本的初等函数，及其性质与图象，还有函数的基本定义。高一必修一的教材内容比较多，而且难度也很大，很多高一的学生学习起来都感觉很难，甚至到了考试复习的时候还是感觉难。去年我有一位高一的学生这样形容过函数“内容多，感念多，记忆难，理解难，做题难”。针对这一“难”，笔者把函数内容概括成“三字经”如下：“学函数，两数集，一关系，两变量；关系明，一个x，一个y，唯一定，一对一，多对一，要看清．自变量，它叫x，它取值，定义域；函数值，它叫y，它取值，值域也．三要素，定义域，一值域，一法则．示函数，解析法，图像法，列表法．定义域，注意解，有分母，不等零，偶次根，开方数，要非负，应用题，实际定．两函数，判相同，表达式，要相同，定义域，要一致，两点必，同时备．求值域，定义域，解结果，用集合，或区间．求值域，定义域，先考虑，观察法，配方法，换元法，法法通．分段函，定义域，来分段，解释式，各不同．学映射，两集合，比函数，来学习，也不难．函数性，一单调，自变量，越增大，函数值，越增大，增函数；自变量，越增大，函数值，越减小，减函数；判单调，定义法，定义域，先来求，任取值，再作差，再变形，后定号，下结论．二奇偶，任一x，f(－x)=f(x)，偶函数；任一x，f(－x)=－f(x)，奇函数；判奇偶，定义域，先判断，关原点，来对称，再定义，作判断；偶函数，关y轴，来对称，奇函数，关原点，来对称．三最值，图象法，先求解，单调性，再考虑，配方法，求二次．指数幂，求方根，n是奇，正负同，n为偶，开方数，要非负，次方根，有两个，相反数；负数也，偶方根，不存在，0数也，任方根，都是0;分数幂，底为正，0为底，正分数，幂等0，负分数，没意义．指数函，底为正，不为1，自变量，为实数，函数值，大于零；作图象，先看底，0到1，减函数，大于1，增函数，点(0，1)，一定过，同坐标，多图象，逆时针，底变大．对数函，底为正，不为1，函数值，为实数，自变量，大于零，与指数，来相反；作图象，先看底，0到1，减函数，大于1，增函数，点(1，0)，一定过，同坐标，多图象，逆时针，底变小；底相同，同坐标，指数图，对数图，直线y=x，对称它；常用对，10为底，自然对，e为低，对数值，计算器，来计算；算对数，同底加，真数乘，同底减，真数除，真数方，可外移，作分子，底数方，可外移，作分母；换底式，原对数，底真拆，真为上，底为下，用新底，来作商．指数函，对数函，比大小，底相同，用单调，底不同，用图象．反函数，底相同，指数函，对数函，互为反，两函数，定义域，与值域，互相换，两图象，直线y=x，来对称．幂函数，自变量，作为底，任常数，作为指；幂图象，一象限，过点(1，1)，指大0，增函数，指大0，图下凸，0到1，图上凸；指小0，减函数；指为0，底非0;幂函数，课本图，要会画，考试出，拿满分．”。学生读了这个函数“三字经”，给的评价为“三个字，容易读，方便记，内容全，做题时，运用好”。

2．第二招，化抽象为文字———空间立体几何体篇

高中立体几何在高考试卷分值20分左右，是学生必挣的分数，但是对于学生它是一个难题目，特别是女学生，高中立体几何的抽象性让学生很难理解和掌握。为了更好地学习高中立体几何，笔者在复习它的时候，概括成“三字经”如下：“学棱柱，两底面，互平行，余各面，四边形，公共边，都平行；分类别，按地面，边数几，几棱柱；两底面，全等形，各侧面，平行行，各侧棱，平行等．学棱锥，一底面，多边形，余各面，三角形，共顶点；分类别，按地面，边数几，几棱锥．学棱台，平行于，锥底面，平面截，棱锥体，得棱台，分类别，按棱锥；两地面，相似形，各侧面，梯形也，各侧棱，交一点．学圆柱，矩形转，可得之；两底面，全等圆，侧面展，图矩形．学圆锥，三角形，直角转，可得之，底面圆，侧面展，图扇形．学圆台，平行于，锥底面，平面截，圆锥体，得圆台；上下底，两个圆，侧母线．交一点，侧面展，图弓形．学球体，半圆转，可得之；球截面，都是圆，球面点，球心距，等半径．柱锥台，各不同，图多画，图会认．三视图，正视图，前后看，侧视图，左右看，俯视图，上下看；几何体，长宽高，正视图，看长高，侧视图，看宽高，俯视图，看长宽．直观图，二测法，平面图，各线段，平行x，长不变，平行y，顺转45°，长度半；几何体，直观图，画地面，高不变．柱锥台，表面积，各面和；柱体积，地面积，乘高得；锥体积，三分一，地面积，乘高得；台体积，会计算，公式也，可不记．”。学生读了这个空间立体几何体“三字经”，给的评价为“化抽象，为文字，读着它，体不难，体计算，容易多”。

3．第三招，化应用操作为概括总结———统计篇

统计是高中数学应用的内容，也是高中数学教材必修三的重点内容之一，统计题经常出现在高考六道解答题中，而且它的难度不大，所以它是高考考生一定要拿下的分数。为了使得学生更好地记住操作和计算的方法步骤，笔者在复习它的时候，概括成“三字经”如下：“简单抽，抽签法，先编号，拌均匀，后抽取，反复抽，抽完止；随机法，先编号，按数表，选始码，选方向，读数字，判范围，抽齐止．系统抽，先编号，定间隔，不整除，先剔除，又编号，再分段，第一段，随机抽，其他段，加间隔，遂一抽．分层抽，看总体，不交叉，按比例，定数量，层层抽．频分布，求极差，定组距，求组数，列频表，画方图；直方图，长方形，面积值，等频率；形上端，中点连，折线图．茎叶图，中间茎，左右叶，个位数，作为叶，其他数，作为茎．标准差，先平均，按公式，来计算；求方差，标准差，来平方，两个差，值越小，离散度，就越小．散点图，左到右，点上升，正相关，点下降，负相关；点分布，靠直线，两变量，线相关，回归线，方形成．小二乘，求回归，运算多，分小块，代公式，来计算；方程中，字母头，有小帽，别忘戴．”。学生读了这个统计“三字经”，给的评价为“语言练，方法明，步骤清，总结强，点计算，说注意”。

4．第四招，化公式为口诀———三角函数篇

三角函数题在高考中属于容易的题目，三角函数学生起来让学生感觉到头疼的事情只有一个：公式多，记忆烦．为了解决公式记忆的问题，很多老师都把这些转化成口诀，方便学生记忆．笔者把高中数学教材必修四的三角函数内容转换成“三字经”如下：“任意角，顺转负，逆转正；终边角，加k360°，k整数．弧度制，一平角，一个兀；正弦值，y比r，余弦值，x比r，正切值，y比x，切特殊，y轴无．三角值，象限角，一全正，二正正，三切正，四余正．三角线，单位圆，来研究．同一角，正余弦，平方和，等于一，正余商，等正切；正余切，一求二，分象限，来讨论，正负明．解化简，用公式，证明法，左右开，变式多，法多样，要灵活．诱导式，一到四，函数名，不改变，定符号，看象限；五和六，正余弦，互相换，定符号，看象限；总口诀，k•90°+α，k整数，k奇数，正余换，k偶数，函数名，不变化，定符号，看象限．正弦函，余弦函，正切函，画图象，记性质，数形结，解题目，条条顺，路路通．三角函，图象移，向左加，向右减，向上加，向下减，好规则，请牢记．”。学生读了这个三角函数“三字经”，给的评价为“三角函，公式多，三字经，记忆简，读方便，说到位”。

5．第五招，异曲同弹———数列篇

数列是高中数学教材必修五的重点内容，也是难点内容，数列重点有两个：一等差数列，一等比数列，两这有很多类似的地方，新课的时候我们分开两个知识点来详细介绍和讲解，但是到了复习课，我们可以对比来总结记忆和学习，特别是数列的概念、公式和性质等．笔者在复习数列的时候，概括成“三字经”如下：“数列也，一列数，按顺序，排列着；每个数，作为项，多少项，为项数；数列类，有穷列，无穷列，递增列，递减列，常数列，摆动列．通项式，第几项，与序号，关系式．递推式，任一项，与前项，关系式．等差列，一数列，二项起，每一项，与前项，来作差，等同数，这数列，称等差，这个数，为公差．差中项，三个数，成等差，中间数，为中项．等差列，第一项，为首项；通项式，公差与，列项数，减去一，来作积，加首项，来求和．等差列，下角标，成等差，列的项，仍等差；连续项，来求和，构成列，成等差．等差列，前项和，公式一，首项加，末项和，乘项数，一半之；公式二，列项数，乘项数，减去一，来作积，一半之，后加上，几项和，几首项，来求和．等比列，一数列，二项起，每一项，与前项，来作商，等同数，这数列，称等比，这常数，为公比，不为零．比中项，三个数，成等比，中间数，为中项．等比列，通项式，首项乘，列项数，减去一，个公比．等比列，下角标，成等差，列的项，仍等比；连续项，来求和，构成列，成等比．等比列，前项和，讨论比，是否一，不一样，公式异，分开记，别弄错．”。学生读了这个数列“三字经”，给的评价为“两数列，对比讲，成三字，易记忆，说性质，入心脑”。

6．第六招，点到即止———不等式及其解法篇

高中数学等差数列总结 篇2

一、数列求和

一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学知识，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解。

1.分组转化法求和

例如，Sn=（2+1）+（22+1）+（23+1）+……+（2n+1）

总结：等差数列an与等比数列bn的对应项相加而形成的数列an+bn都用分组求和的来求其前n项之和Sn。

2.错项相减法

例如，求数列，，，……的前n项和Sn。

总结：错项相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以等比q。本题的解题思路是将每项都乘以，然后做差，在使用错项相减法求和时，一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错项相减法不成立。

二、数列通项公式

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列an的第n项用一个具体式子表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求得相应an项的值。

1.Sn法

例如，已知数列an的前n项和为Sn=3n2+2n，求an。

总结：Sn法主要是运用an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）进行求解。

2.累加法

例如，已知数列an中，a1=1，an-an-1=n，求数列an的通项公式。

总结：一般的，对于形如an-an-1=f（n）的通项公式，只要f（n）能进行求和，则宜采用此方法求解。

3.累乘法

例如，已知数列an中，a1=1，=求数列an的通项公式。

总结：对于形如=f（n）类的通项公式，当f（n）·f（n）…f（n）的值可以求得时，可以采用此方法。

高中数学等差数列总结 篇3

关键词：高中数学 数列 函数

在高中数学教学中，数列和函数是其中的两个主要部分。在很多的高考数学题中都常常把数列和函数两者相结合起来，作为一个考察的重点。很多的学生在这方面就感到很大的困难。在高考中也常常容易出现失分的情况，进而影响到整个数学科目的分数。为了能够适应数学教学的发展，很多老师也开始加强对数列和函数结合点的数学知识的教学，帮助学生全面提高数学能力。这也是符合了高考数学学科中关注学生对知识点的有机结合的一个改革要求的。在高中数学中数列和函数知识的结合主要是数列中的等差数列与函数知识相结合，等比数列和函数知识相结合以及等差、等比和函数的综合运用。教师在教学中不断地总结这类题目的解答规律，把握这类题目的本质。下面从一些具体的数学例题来把握数列和函数这两者间的联系。

一、等差数列的知识和函数的联系

这一类题目的解答的方法都是差不多的，教师在进行这一类题目的详细解答之后，要帮助学生进行必要的总结，让学生在面对这一类题目时，不再茫然无措，而是能够比较熟练地完成题目的要求。

二、等比数列和函数之间的综合运用问题

基本上，等比数列和函数之间的综合运用都是按照数列的解题思路来进行的。但是，具体上来说，他们都各自结合了等差数列和等比数列的基本特征。一般来说，教师会采用下面的方式来解答此类题目。基本上了解了这一点，整个等比数列和函数之间的数学问题的解决就是从这个关系出发的。

三、等比、等差数列和函数的综合关系

只要掌握了它们之间的关系，问题就很容易解决了。因为等差数列、等比数列都是可以看作是函数中的特殊函数。在很多的函数问题的解决中常常要求它们引入到数列的方程中。我们可以从函数的另外一个性质来看，数列其实是可以被看成是一个定义域为正整数的集合。这样就很容易构建起了数列和函数的关系。下面以一道等差、等比数列和函数综合的题目来分析这个知识点的结合。

四、结语

在高中数学的教学过程中，综合题目中的数列和函数有时候还会和其他的方程、向量等问题相结合。但是重要的是教会学生把握这些知识点的内容和他们结合点的知识的联系，这样就能够培养学生的数学联系思维能力，提升学生的数学思维能力。

参考文献：

[1]杜洪明。数列与函数综合的问题分类解析[J].数理化学习（高中版），2009，（7）：2.

高中数学等差数列总结 篇4

【关键词】中职数学 财经专业 数列教学 对接

一、以专业为背景创设问题情境

数学课堂教学的第一步一般是创设问题情境，引导学生进入新知学习。在学习等差数列时，笔者创设了一个专业知识求解背景，将学生带入专业情境。

出示一张企业带息商业汇票，面值一万元，票面年利率为8%，按单利计算。

问题：

（1）从第一年到第五年，各年年末的终值分别是多少元？

（2）从第一年到第五年，各年年末的终值数据排成一数列，该数列有什么特点？

（3）从以上五个数据的规律，你能知道第n年年末的终值是多少元吗？

通过此问题，学生巩固了《财务管理》中单利终值的计算方法，并在不知不觉中接受新知识，研究新知识，避免了学生对数学知识反感情绪的出现，让学生在解决问题的过程中自主构建本课的知识结构，可谓“学以致用”。

二、用数学知识理解专业课

学生在学习财务会计课程中，计算固定资产折旧的方法之-年数总和法时，由于对公式不理解，记忆公式是一个很大的负担并会导致计算错误。在学习完等差数列的前n项和公式后，笔者举了一个具体的计算固定资产折旧的例题。

例题：建造设备一台，原价740万元，预计净残值20万元，预计可用5年，试用年数总和法计算每年折旧额。

分析：根据计算公式：

年折旧额=（原价-预计净残值）×逐年递减年折旧率。

逐年递减年折旧率=（预计折旧年限-已折旧年限）/[预计折旧年限×（预计折旧年限+1）÷2]

本题固定的折旧基数=原价-预计净残值=740-20=720

逐年递减年折旧率依次为：5/15，4/15，3/15，2/15，1/15。解得：

第一年=（740-20）×（5/15）=240

第二年=（740-20）×（4/15）=192

第三年=（740-20）×（3/15）=144

第四年=（740-20）×（2/15）=96

第五年=（740-20）×（1/15）=48

通过分析解题，学生不难发现实际用年数总和法计提折旧是一种加速折旧法。五年的计提额成等差数列。倒序来看，从第五年开始，首项为（740-20）×（1/15）=48，公差也为（740-20）×（1/15）=48，这样5年的计提折旧总额正好为720（740-20）。站在等差数列的角度来看年数总和法计提固定资产折旧，学生理解透彻，对于公式自然就掌握了，并明确了这种计提方法的优点：（1）初期使用提供的经济效益较高，因此，折旧费用也应较高，符合收支配比原则；（2）因当今科技发展快，采用此方法可以使资产成本在较短的时间内收回，避免了无形损耗对固定资产的损失，可以加快固定资产的更新能力和提高企业技术水平；（3）随着资产的使用，其相应的维护、修理也会逐年增加，采用加速折旧法可以使成本在使用寿命内比较均衡。这样的数学教学，真正做到了为专业课服务。

三、结合专业课，拓展课堂教学形式

专业背景下的课程实施过程应当是一种开放的教学过程，其教学不再是简单地向学生灌输现成的知识，而是向学生提供多种学习方法和学习途径，让学生在教学过程中去研究、思考、应用。下面就数列在分期付款中的应用开展探究合作性学习。

例：张强购买了一套商品房，总价50万元。首付现金30%后，余下的款额向银行贷款。贷款期限为10年，月利率5%（按复利计算），贷款后的下一个月开始每月向银行还一定数量的款额。该银行推出两种还款方式：一种是等本息分期付款（每期所付款额相同），一种是等本金分期付款（每期所付本金相同，再加付上一期利息）。请你帮助张强分析一下，选择哪一种还款方式比较合理。

探究合作性学习形式：分组合作式学习方式（按6人一组分组进行研究），每组推荐一人介绍本组的分析情况。

探究合作性学习过程：（1）利用等比数列求和知识计算等本息分期付款每月还款额和还款总额。（2）利用等差数列求和知识计算等本金分期付款每月还款额和还款总额。（3）对小张年龄和收入情况的不同假设作出多种开放性结论。

探究合作性学习收获：一方面，使学生增长了专业知识，同时激发了学生的学习兴趣，有助于改变数学的教学现状。另一方面，使学生提高了能力，包括应用能力、创新能力及合作交流能力等，有助于改进单一学习方式的弊端。

高中数学等差数列总结 篇5

关键词：类比；概念；性质；结论；方法

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0156-03

类比方法是数学发现中最常用、最有效的方法之一，是从特殊到特殊、特殊到一般、或从一般到一般的间接逻辑推理方法。通过对两个或两类对象进行比较，找出它们之间在某些关系或性质上的相同或相似点，以此为依据，推测它们在另外的关系或性质上的相同或相似的结论。这是一种合情推理，尽管逻辑依据不是很充分，类比的结果具有或然性，但是，良好的类比给出的“相似”比较接近于事物的本质，只要通过验证即行了。高中数学中的代数、立体几何以及解析几何中有许多的概念、定理、性质、结论等有许多的相似之处，正因为它们有着惊人的相似，所以在学习中可以将相似的概念等进行类比，通过类比的方法去理解、去体会，便可加深对所学知识的认识与理解，从而提高学习效率。

一、等差数列与等比数列中的类比

等差数列与等比数列是高中数学的重要内容之一，也是高考中的热点内容。对于这两个特殊的数列，它们的定义分别是：对于一个数列{an}，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列；如果从第二项起，每一项与它前面一项的比值都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。根据其定义的相似性，在学习其性质时，不妨将它们进行类比。对于等差数列与等比数列的类比，有如下的关系：

（1）等差数列用“差”定义用“加法”表述性质

b类比 b类比

等比数列用“商”定义用“乘法”表述性质

即在等差数列中用“差”或“和”表述的性质，在等比数列中类比可得到相应的用“商”或“积”表述的性质。如：

①在等差数列{an}中，若m、n、r、s∈N，且成等差数列，则am、an、ar、as成等差数列，即an-am=as-ar；

在等比数列{an}中，若m、n、r、s∈N，且成等差数列，则am、an、ar、as成等比数列，即■=■。

②在等差数列{an}中，若m、n、r、s∈N，且m+n=r+s，则am+an=ar+as；

在等比数列{an}中，若m、n、r、s∈N，且m+n=r+s，则am・an=ar・as 。

③在等差数列{an}中，Sn为前n项的和，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…成等差数列；

在等比数列{an}中，Tn为前n项的积，则Tk，■，■，…成等比数列。

（2）等差数列中“某些项的和为0”可类比得到等比数列中“相应项的积为1”。

例1：（2000年上海卷）在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19，n∈N+）成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9= ，则有等式 成立。

分析：根据等差数列与等比数列中的类比方法，同时等差数列中的“0”与等比数列中的“1”类比，并且注意已知条件中“n＋（19-n）=2×10”，便可得到相应结论：

在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式a1・a2+…・an=a1・a2+…・a19-n（n＜19，n∈N+）成立。

评注：一般，对等差数列{an}，如果ak=0，则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0。所以有：a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+（an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n）（n＜2k-1，n∈N*）。从而对等比数列{bn}，如果bk=1，则有等式：b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n（n＜2k-1，n∈N*）成立。

（3）等差数列中的“n分之一”可类比得到等比数列中的“n次方根”。

例2：若数列{an}为等比数列，且an＞0，bn=■，则数列{bn}也为等比数列，类比上述性质，若{cn}为等差数列，dn= ，则数列{dn}为等差数列。

分析：由上述类比方法可得结论：

若{cn}为等差数列，dn=■，则数列{dn}为等差数列。

（4）等差数列中“某项的n倍”可类比得到等比数列中的“某项的n次幂”。

例3：等差数列{an}的前n项的和记为Sn，则Sn=■，若等比数列{bn}（bn＞0）的前n项的积记为Tn，类比等差数列的前n项的和公式，可得结论：Tn＝ 。

分析：等差数列中的两项的和可类比得到等比数列中相应两项的积，和的n倍可类比得到积的n次幂，等差数列中两项和的二分之一可类比得到等比数列中两项积的平方根，于是可得结论：Tn=■，或写成：Tn=（■）n（证明略）。

通过类比加深了学生对知识的理解，便于学生记忆与应用。

二、函数中的类比

反函数是高中数学中的一个重要概念，根据反函数与其原函数之间的关系，在讨论反函数的性质时，将其与原函数进行比较，可以体现数学中的对称美。

根据反函数的定义及求法，不难发现原函数与反函数之间存在x与y互换的性质。比如，原函数的定义域与反函数的值域的对应关系、原函数的图像与其反函数的图像之间的对称关系无不反映这一点，在指数函数与对数函数的学习中，便可利用这一互为反函数的关系进行学习，在讨论对数函数的性质时，只要将指数函数的相应性质的“x”“y”互换，即可得到对数函数的性质。

三、平面几何与立体几何的类比

在空间问题与平面问题的类比中，通常可抓住几何要素的如下对应关系作类比：

多面体？圮多边形； （平）面？圮边（直线）

体积？圮面积； 二面角（多面角）?圮平面角

面积？圮线段长； … …

例4：如图1，在三棱锥A-BCD中，截面B1C1D1平行于底面BCD，若三棱锥A-BCD的体积为1，S■=■S■，则三棱锥A-B1C1D1的体积为 ■ 。

分析：在平面几何中，两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方，则类比可得到在立体几何中，两个相似多面体的体积之比等于相似比的立方，此题中的三棱锥A-B1C1D1与三棱锥A-BCD是相似多面体，由已知可求得AB1＝■AB，因此可求得V■=■V■。

这种通过对知识的归纳类比，并总结出一般的结论的思考方法是学习数学的一种基本的方法，它有助于我们养成良好的思维习惯，不断地对知识进行归类整理，使所学知识系统化。

四、平面向量与空间向量的类比

平面向量与空间向量的定义、运算法则及它们的坐标运算都是一样，只是维数不同，因此在高二（下B）学习空间向量时，完全可以在高一平面向量的基础上通过类比的方法进行学习。在平面向量中的一些结论可利用类比的方法得到空间向量中的结论，如：

（1）“平面向量中，两个向量■与■（■≠■）共线的充要条件是存在唯一实数λ，使■＝λ■”，类比可得“空间向量中，三个向量■、■、■（■与■不共线）共面的充要条件是存在唯一的一对实数λ与μ，使得■＝λ■+μ■”；

（2）“平面向量中，A、B、C三点共线的充要条件是对平面内的任意一点P，存在实数λ与μ，使得■＝λ ■+μ■，且λ+μ=1”，类比可得空间向量中，A、B、C、D四点共面的充要条件是存在实数λ、μ与ω，使得 ■＝λ■+μ■＋ω■，且λ+μ+ω＝1”；

（3）在平面向量中有平面向量基本定理：如果■与■是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量■，有且仅有一对实数λ1，λ2，使■=λ1■+λ2■，在空间向量中，可由此类比得到空间向量基本定理：如果■、■、■是空间三个不共面的向量，那么对于空间的任一向量■，有且仅有一组实数λ1，λ2，λ3，使 ■=λ1■+λ2■+λ3■；

五、解析几何中的类比

解析几何中的椭圆、双曲线的定义非常相似，从定义上看，仅仅是“和”与“差（的绝对值）”的区别，并且它们有统一的第二定义，它们的第二定义也仅是常数e的取值范围不同。因此，在讨论了椭圆的几何性质后，便可类似地得到双曲线的相应的几何性质，如它们的范围、对称性、离心率等。

例5：（2003年上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值。试对双曲线■-■=1写出具有类似特性的性质，并加以证明。

分析：根据椭圆与双曲线的定义与性质的相似性，可得结论：若M、N是双曲线■-■=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值。（证明略）

六、在解题策略中通常采用规律类比、数形类比、形式类比等

解题过程中，借助类比将陌生对象和熟悉对象、未知规律和已知规律相互类比之后，往往达到启发思路、举一反三的效果。

例6： 计算D=sin（α1+α1）sin（α2+α2）sin（α3+α3）+sin （α1+α2） sin （α2+α3） sin （α3+α1）+sin（α1+α3）sin（α3+α2）sin（α2+α1）-sin（α2+α1）sin（α3+α3）sin（α1+α2）-sin（α2+α3）sin（α3+α2）sin（α1+α1）-sin（α3+α1）sin（α1+α3）sin（α2+α2） 。

分析：由求解式的构成特点、规律类比到三阶行列式，从而

D=sin（α1+α1） sin （α1+α2） sin（α1+α3）sin（α2+α1） sin （α2+α2） sin（α2+α3）sin（α3+α1） sin （α3+α2） sin（α3+α3）

=sinα1 cosα1 0sinα2 cosα2 0sinα3 cosα3 0・cosα1 cosα2 cosα3sinα1 sinα2 sinα30 0 0=0

例7：求满足方程组y=4x3-3xz=4y3-3yx=4z3-3z的实数（x，y，z）。（1990北京IMO集训题）

分析：由每个方程的形式联想三倍角的余弦公式，用三角法。首先证明|x|≤1，用反证法|x|＞1由y=4x3-3x=x（4x2-3）|y|＞|x|.同理|z|＞|y|、|x|＞|z|，矛盾。

因此可设x=cosθ，0≤θ≤π，则y=4cos3θ-3cosθ

=cos3θ，z=cos9θ，x=cos27θ.提出cosθ-cos27θ=0

sin13θsin14θ=0，θ有27个解：

θ=■，k=0，1，2，…，13；或者θ=■，k=0，1，2，…，13。

所以，（x，y，z）=（cosθ，cos3θ，cos9θ），其中θ=■或■且θ=0，1，2，…，13。

另外，除了上述概念、定理、性质之间的类比即解题方法的类比外，还有从特殊到一般的类比等等。

总之，知识的类比，实际上也就是新旧知识的迁移；方法的类比，也就是对知识的归纳与总结。张雄将类比分为简单共存类比法――根据对象之间具有简单共存关系而进行类比推理；因果类比法――根据对象的属性间可能有同一种因果关系而进行的推理；对称类比法――根据对象属性之间具有对称性而进行的推理；协变类比（数学相似）法――根据对象属性之间具有某种确定的协变关系（即函数变化关系）而进行的推理；综合类比法――根据对象属性的多种关系的综合相似而进行的推理，数学中有降维与升维类比，等。作为教师，在教学中应该有意识地教给学生如何去进行类比，引导学生通过对新旧知识的对比，找出它们的差异与相似的地方，通过类比得出新的知识，有助于学生对知识的理解与掌握。同时，只要学生学会了正确的方法，则可提高学生学习数学的兴趣，激发学生的学习热情，提高学生的自学能力。

参考文献：

[1]杨燕。崭露头角的研究型试题[Z].中学数学，2002.

[2]张同君。中学数学解题研究[M].东北师范大学出版社，2002.

高中数学等差数列总结 篇6

关键词：灰色时间序列；用电总量预测；误差分析

引言

全国电力年消耗总量作为重要的经济指标，对国内经济环境的反映具有重要作用。电力在传输、储存和远程调配等环节中损耗严重，从而要求了发电量必须与用电量相适应。基于以上两点，对未来全国电力年消耗总量进行准确预测，不仅能对发电工作进行提前指导，还能根据预测数据指导经济政策的制订。

目前，对全国电力年消耗量预测进行较少，多为专家定性预测，准确度得不到保障，而全国电力年消耗量影响因素众多，内部关系不明晰。针对此，本文利用灰色时间序列进行预测，所需数据量小，准确度高，预测结果更具有参考价值。

1 灰色r间序列

时间序列预测是将所需要预测的数据按照时间进行排列，形成一个数列，利用数列的内在规律，合理外推出未来时间相应节点所对应的数据。灰色预测用于数据内在关系不明确或不完全已知的情况，利用较少数据，进行准确度和可信度高的预测。灰色时间序列将以上两种方法相结合，所需数据少，预测准确，可信度高，特别适合类似于用电总量的预测分析。

灰色时间序列预测过程包括：数据预处理（累加数列），序列建立，参数求解，精度检验。

2 基于灰色时间序列的全国电力年消耗量预测

2.1 实验条件

（1）查询国家统计局有关数据，2007至2016年全国电力年消耗总量数据如表1所示。

（2）在MATLAB R2014a，利用MATLAB语言对相应程序进行了编写。

2.2 实验结果

利用灰色时间序列进行预测，预测2017年全国电力年消耗总量为6.4658万亿兆千瓦，全国电力年消耗量预测如图1所示。

2.3 误差分析

以2012～2016年全国电力年消耗总量作为预测目标，将预测值与实际值进行比较，误差分析结果见表2。

从预测误差表中可以看出，利用已知实际值和模型预测值进行比较，2012～2016年全国电力年消耗总量预测值与实际值差距最大为4.665%，最小为2.395%，5组验证均保证预测值与实际值差异小于5%，满足统计学的预测值具有95%的保证率的要求，预测精度高，预测结果可信，预测数据具有重要的现实意义。

3 结束语

综合全国电力年消耗总量符合时间序列规律以及数据量小，内部关系不完全清晰的特点，利用灰色时间序列得到预测模型，并对2017年全国电力年消耗总量进行了预测。预测方便，所需数据量小，通过误差分析发现，预测结果准确度高，具有重要的现实意义。预测2017年我国电力年消耗总量将达到6.4658万亿兆千瓦，继续呈现上升趋势，为保证电力供应，有关部门应及早进行准备，参考预测数据采取相应措施。

参考文献

[1]林添枝，吴卢荣，陈绩馨。基于时间序列与灰色拓扑的火灾损失预测[J].数学的实践与认识，2014（17）：176-183.

[2]杨月英，马萍。基于灰色时间序列预测中国汽车销量[J].湖州职业技术学院学报，2012（01）：5-7+11.

[3]肖勇，尹世洋，邵景力，等。灰色预测与时间序列分析在地下水位预测中的应用[J].灌溉排水学报。

[4]刘淼。基于灰色理论的时间序列交通事故预测[J].许昌学院学报，2014（02）：14-17.

[5]曹艳平。灰色时间序列理论及应用的研究[D].西安建筑科技大学，2005.