学方法 …一… 黜啦嘲 娃 冁 麓麓 熊 【摘要】通过对高中数学新教材的教学，结合新教材的习 题和高中研究性学习的开展，对如何加强高中生发散思维训 壤 ３１１２００） ａ—麓纛簇 ◎杨 敏 （浙江杭州萧山第十高级中学（１）构造函数：将原不等式移项变形，得（ ） 一 ２ ＋ｂ２≤０． 练，如何开展教学培养学生的创新能力方面进行了探索． 【关键词】发散思维；创新能力；发散求异；联想转化 联想到二次函数的判别式，于是构造函数ｆ（ ）＝ ＋ 科学上的新理论、新方法、新发现往往来源于发散思 维，有人用“创新能力＝知识量×发散思维”这个公式估计 一＋ ，变形得 ，＝÷（ ＋号） ＋÷（ ＋告） ． 因为＿厂（ ）≥０恒成立，所以△≤０，可证得此不等式． 个人的创新能力．可见，加强发散思维训练，是培养学生 创新能力的重要方法． （２）三角代换：注意到不等式中的半，令其为 ，则可 发散思维是一种创新思维，指思维从同一信息源出发， 运用获取的信息沿着多种方向展开，以获得不同的思维的 结果．思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维 的特性．在中学数学教学中有意识地抓住这些特性进行训 设。＝ ｃｏｓＯ，ｂ＝ 于是（ ） ＝【亟 导［ （ｅ＋号） 把、 卜 ， （ ｚ ａ２＋ｂ２． ≤ｖ／ √２ 练与培养，既可提高学生的发散思维能力，也有利于培养学 生解决问题的灵活性与创新能力． 一（３）构造图形：不等式等价变形，得 着成点（。，６）到原点的距离，而 、创设发散情境，激发创新意识 任何思维过程都受一定的情境所制约和激发．因而教 师在教学中应根据教材与学生的生活实际，创设激发探索 新知识的发散问题情境，围绕数学教学环节的衔接、转折、 延伸，鼓励学生多提问题、发现问题、捕捉问题，激起学生对 ，／２ 联想到点 到直线的距离公式，可看成点（ａ，ｂ）到直线Ｙ＝一 的距离， 于是从图形易得原不等式成立． 三、变式引申。强化创新能力 问题探究的高涨情绪． 例１ 点Ｐ为△ＡＢＣ所在平面Ｏｌ外一点，若／ＡＰＢ＝ ＢＰＣ＝／ＣＰＡ＝９０。，则点Ｐ在平面ｄ内的射影仃是 ＡＡＢＣ的（ Ａ．外心 ）． Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心 “数学题是永远做不完的”，多做题固然可以积累经验， 但如果善于变题，在变式引申中掌握一类题的解法，则会以 少胜多，既训练了发散思维的广阔性与深刻性，同时强化了 学生的探索精神与创新才能． 例３ 在椭圆 线互相垂直． 本题运用线面垂直、线线垂直的判定与性质容易选择 答案Ｄ．完成此题后提出问题： （１）满足怎样的题设条件时，点Ｐ在平面Ｏｌ内的射影 是ａＡＢＣ的外心、内心、重心呢？ （２）适当改变题设条件还会有此结论吗？如何改变题 设条件呢？如三个侧面ＰＡＢ，ＰＢＣ，ＰＣＡ两两垂直．又如 ＰＡ上ＢＣ，ＰＢ Ｊ＿ＡＣ等． ｌ上求一点，使它与两个焦点连 大多数学生能直接设出点的坐标，再结合斜率公式，列 方程组解题．也有学生运用椭圆的参数方程，引参设点求 解．还有学生能根据焦点三角形为直角三角形这一特征，这 个点也在以焦点为直径的圆 ＋Ｙ ＝２５上，通过求两曲线 的交点法解题．如果解完这题就此罢手，这样学生只学会了 解一道题，达不到解决一类变式创新题的目的．此时教师要 从改变题设特征条件出发，引申变式．如： （３）保留原命题条件不变的前提下，还会有怎样的结论 呢？如△ＡＢＣ为锐角三角形．又如设 ，卢， 分别为高与各 侧棱所成的角（或底面与各侧面所成二面角的平面角），则 有ＣＯＳ ａ＋ＣＯＳ ＋ＣＯＳ １等． 二、发散求异。培养创新能力 布鲁纳曾说“探索是数学的生命线”，发散求异思维过 变式１ 在椭圆 线的夹角为６０。． 而ｙ＝１上求一点，使它与两焦点连 提问：上例的解题方法还适用吗？此题中的焦点三角 形已成为一个角为６０。的斜三角形了，解题思路也随之改 程就是探索过程，教学中教师应善于引导学生多方位多角 度地观察问题，开阔视野，训练学生发散求异思维的习惯， 激发学生的创新热情，培养创新能力． 变，结合椭圆的定义及余弦定理，再列式求解．促使学生对 解题思路进行探索与灵活拓展，再让学生进行变式探索设 计出创新试题．如： 侈０ ２ 求证：不等式ｆ＼ ，１ ≤ ． 题目虽然简单，但证法很多，综合法、分析法、比较法、 反证法皆可，但只满足于上述方法，则失去了一次引导学生 从不同角度审视问题的求异创新的机会．实际上，这道题还 可用函数、ｊ角、解析几何等知识来解决． 变式２在椭圆 离之比为１：３． Ｙ＝１上求一点，使它到两焦点距 变式３设Ｐ为椭圆 ＋上４：１上任意一点，Ｆ一，Ｆｚ是椭 数学学习与研究２０１２ ７ 教学方法 舔冁 。 ● ． ● ● ● 圆的两个焦点，求 Ｆ．Ｐ 的最大值，并求此时△Ｆ。Ｐ 的面积． ．．２ ，２ 变式４ 已知椭圆等 ＝１的两个焦点Ｆ・，Ｆｚ，点Ｐ 为其上的一动点，当 Ｆ。ＰＦ 为钝角时，求点Ｐ的横坐标的 取值范围． ２ ２ 取值范围．另一方面，令｛ 一，２’原命题即为已知／２＋ Ｌ ＝Ｙ—Ｊ’ ２ｙ＝１，试确定 的取值范围．命题的条件显然得到简化． 再联想到圆的参数方程，可采用引参消元法，设“＝ｓｉｎＯ， ＝ 变式５设椭圆 ＋告＝１（口＞ｂ＞０）的两个焦点为Ｆ．， ａ Ｄ 。。 ０，问题可转化为：求ｓ： 的取值范围．常见解题思 厅 ．路是将此式转化为ｓｉｎ（０＋ｐ）＝＿厂（ｓ）形式，再由Ｉｆ（ｓ）Ｉ≤１ 可求得Ｓ的取值范围．还有其他解法吗？再次深层联想，设 若椭圆上存在点Ｐ使ＰＦ，垂直ＰＦ２，求证：离心率ｅ≥ ． ２ ２ ，变式６设椭圆 ＋告＝１（ｏ＞ｂ＞０）的两个焦点为 ａ Ｄ ｔａｎ÷＝ｔ，则ｓｉ仰： Ｃ０￥０－｝ ，问题又可转化为：求 函数ｓ＝ 的值域．再运用判别式法可得出解答 Ｆ ，Ｆ：．（１）求Ｉ ＰＦ Ｉ・Ｉ ＰＦ：Ｉ的最大值、最小值；（２）求 △Ｆ，ＰＦ２的面积． 此处还可以引申到双曲线的相关问题等等．从而沟通 了解几与代数、三角间的联系，迫使学生思维从不同方向发 散，深化创新思维． 四、联想转化。发展创新能力 以上事例说明，只要我们有意识地加强发散思维能力 的训练，克服思维定式，锻炼思维品质，培养学生孜孜以求 的探索精神，才能培养出有创新能力的学生． 【参考文献】 ［１］徐斌艳．数学课程与教学论［Ｍ］．杭州：浙江教育出 版社，２００３． 联想思维是以已知为基础，通过观察、类比、创新思考 把待解决的问题转化成易于解决或已经解决的问题，从而 发现解题途径，制定解题策略．联想转化能优化学生的认知 结构，有助于学生自觉地调整思维方向，再创造出新的独特 的解题思路，使创新能力得到发展． 例４ 已知（ 一２） ＋（Ｙ一１） ＝１，试确定 十１ ［２］唐街平．平面几何发散思维能力培养的商榷［Ｊ］．重 庆教育学院学报，２００２（６）． 的取值 ［３］沈德立，吕勇，马丽丽．中学生发散思维能力培养的 实验研究［Ｊ］．心理学探新，２０００（４）． 范围． 从所求问题的外部特征来看，与解几中的斜率公式ｋ＝ — 类比，通过数形结合联想，问题可转化为：求圆（ 一 １ ［４］张雄．中国数学教育改革的趋势［Ｊ］．中学数学教学 参考，２００４（３）． ［５］俞求是．中学数学教科书中的开放题［Ｊ］．中学数学 教学参考，１９９９（４）． ２一 ２） ＋（Ｙ一１） ＝１上一动点Ｐ与定点Ａ（一１，３）连线斜率的 （上接４３页） 例如，在线面垂直的判定定理的引入中，教师可让每名 学生准备一块三角形纸片，过顶点Ａ翻折该纸片得到折痕 ＡＤ，请同学们研究：如何来翻折纸片，才能使折痕ＡＤ与桌 Ａ ｌ面垂直呢？学生通过自己动手操作，体会做数学的乐趣，并 通过自己的实验直观地“发现”了线面垂直的判定定理，其 对定理的理解会比老师直接给出深刻得多． 又如，在“数学归纳法”一节，教师可在课前准备道具 （如２Ｏ个烟盒），在课堂上请学生一起来做“多米诺骨牌”游 戏，使学生很形象地理解了数学归纳法的定义和本质． Ａ ＝Ｉ— 一 一 ．ｉ —２ ＼ ＼／ 图４ 图３ 数学实验还可以充分利用信息技术与数学课程的整 合，用多媒体计算机等来进行数学的探究实验．如在椭圆的 教学中，不仅可以用教材介绍的实验，利用线和固定的两个 钉子来画椭圆，还可以用“几何画板”来进行实验探究． 打开“几何画板”研究轨迹，比如“顶点在在椭圆的 ＡＡＢＦ 中，过点Ａ作ＢＦ：的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉 形（如下图所示）” Ａ 在新课程背景下，创设好的教学情境，有助于学生培养 对数学的兴趣，激发探索的热情，改善教与学的方式，使学 生主动地学习．当然，如何创设一个好的教学情境有很多办 法，上述提到的只是笔者最常用的几种方法．在教学中要创 设一个好的情境应该要注意几个原则．首先，情境设置要与 教学内容相结合，应为内容服务．同时，创设情境应尽量新 颖，能充分调动学生的学习兴趣，使学生不再觉得数学枯燥 ／ ＼ ｝ ｜乏味．其次，创设的情境要能够很好地引导学生进行探究， 调动学生的积极性，从而更好地在“做数学”中“发现”数 学，改变学生的学习方式．另外，创设的情境应注意从学生 的实际出发，贴进“学生生活区”，不要曲高和寡，另辟蹊径， 让学生“抬抬头”就能看得见． ４－ ＼— ＜ 二＝ ｚ ／ ～ —．ｄｌ 、＼｝～．＼ 图２ 图１ 数学学习与研究２０１２．７