北京市丰台二中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题(答案1)

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.) 1．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝

(A){0} (B){0，1} (C){0，2} (D){0，1，2} 2．下列函数中，与函数y1有相同定义域的是 x1 (C)f(x)x (D)f(x)ax(a1) x(A)f(x)lnx (B)f(x)3. 下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递减的是

(A) y|x| (B) y2x (C) yln|x| (D) yx2 4．已知函数fx,gx分别由下表给出：

则fg1的值等于

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

5．设a1，函数f(x)logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为(A) 4 (B) 22 (C) 2 (D) 2 6. 已知alog20.3，b20.3x 1 2 3 3 4 x 1 2 2 3 1 f(x) 2 g(x) 3 1，则a等于 2，c0.30.2，则a,b,c三者的大小关系是

(A) abc (B) bca (C) bac (D) cba 7. 方程lnx2x的根所在区间是

(A)（-1，0） (B)（0，1） (C)（1，2） (D)（2，3）

8．设集合X是实数集R的子集，如果点x0R满足：对任意a0，都存在xX，使得xx0a，那么称x0为集合X的聚点．现有下列集合：

x①{yy=e}，②{x|lnx0}，③{x|x1n,nN*}，④{x|x,nN*}. nn1其中以0为聚点的集合有

(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)②④

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应的位置上） ．．．．．．．．．．．．．．．．9．若函数f(x)xbx4是R上的偶函数，则实数b的值是 ．0

211810．lg5lg162()3 .-1

227211．函数y2log3x的定义域是 .（0，9]

141 212. 若幂函数f(x)的图象过点(2,)，则f(2) ．

b2x13．已知函数f(x)x是定义在R上的奇函数，则a+b=______.2

2a,4)14. 已知f(x)m(x，2)(xm5)若存在x(使得f(x)0,则实数m的取值范

围 .[1,0)(0,)

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案．．．．填在答题卡中相应的位置上） ．．．．．．．．．．．．

215．（本小题满分13分）已知全集UR，集合A{x2xa0}，B{xx2x30}．

（Ⅰ）当a2时，求集合A（Ⅱ）若AB,AB；

(ðUB)，求实数a的取值范围．

aa，所以Axx． ……… 2分 22解：由2xa0得x2 由x2x30得(x1)(x3)0，解得x1或x3，

所以Bxx1或x3． ……… 4分

 所以ABxx3． ……… 6分 ABxx1. ……… 8分 （Ⅱ）因为B{xx1或x3}，所以ðBx1x3． ……… 10分

（Ⅰ）当a2时，Axx1．

U又因为A(ðUB)，所以a3， ……… 12分 2解得a6．

所以实数a的取值范围是(6,)． ……… 13分 16．（本小题满分14分）已知函数f(x)x22ax3a．

（Ⅰ）若函数f(x)在(,1)上是增函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若函数f(x)存在零点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）分别求出当a1和a2时函数f(x)在[1,3]上的最大值．

解：由已知得f(x)x22ax3a(xa)2a23a． ……… 1分

（Ⅰ）因为函数yf(x)在(,1)上是增函数，

所以a1．

故实数a的取值范围是[1,)． ……… 5分 （Ⅱ）因为函数yf(x)存在零点，

2所以(2a)4(1)(3a)0,即a3a0， ……… 7分

2所以a0,或a3.

（，0][3,) ……… 10分 故实数a的取值范围是

（Ⅲ）①当a1时，函数f(x)x2x3在[1,3]上是减函数，

于是， f(x)maxf(1)2． ……… 12分

2②当a2时，函数f(x)x4x6在[1,2]上是增函数，

2在(2,3]上是减函数，

于是，f(x)maxf(2)2． ……… 14分

17．（本小题满分13分）已知函数yf(x)是定义域为R的指数函数.

（Ⅰ）若f(2)1，求函数f(x)的解析式； 4（Ⅱ）若f(x0)8，求f(x0)的值；

（Ⅲ）若f(x)在区间[0,)上的值域是（0，1]，且f(2x23x1)f(x22x5)，求实数x的取值范围。

解：设f(x)ax(a0,且a1) ……… 2分

（Ⅰ）因为f(2) 所以a2121， 411，所以a 4212x 所以函数f(x)的解析式的解析式为f(x)() ……… 5分 （Ⅱ）因为f(x0)2，所以ax08 ……… 6分

111x01x 所以f(x0)a2(a0)282822 ……… 9分

2（Ⅲ）因为f(x)是指数函数，且在区间[0,)上的值域是（0，1]，

所以0a1,

所以f(x)在R上是单调递减函数. ……… 10分 又因为f(2x23x1)f(x22x5) ……… 11分 所以2x3x1x2x5 所以x5x60

所以x2,或x3

故实数x的取值范围是{x|x2,或x3} ……… 13分

18.（本小题满分13分）某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的部分数据如下表：

时间t 成本Q 50 110 250 150 108 150 222(Ⅰ)根据上表数据，从下列函数Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，说明选择理由，并求所选函数的解析式；

(Ⅱ)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．

解：(Ⅰ)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不是单调函数，这与函数Q＝at＋b， Q＝a·bt，Q＝a·logbt均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述． ……… 4分

把表格提供的三对数据代入该解析式得到：

2 500a50bc150,12 100a110bc108, ……… 6分 62 500a250bc150.解得a1200， b32， c4252． ……… 9分

所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q123425tt. 20022 ……… 10分

－32＝150天时，西红柿种植成本Q最低为 1324252(Ⅱ)当t＝－

2200Q＝

1200×1502－

×150＋＝100(元/100 kg)． ……… 12分

所以，西红柿种植成本Q最低时的上市天数是150天，最低种植成本为100（元

/100kg） ……… 13分 19．（本小题满分14分）已知函数f(x)logax2(a0，且a1)． x2（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅱ）当0a1时，判断函数f(x)在区间（2，+∞）上的单调性，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）函数f(x)是奇函数. 1分

证明如下：

2x0得(x2)(x2)0，解得x2或x2， x2所以函数yf(x)的定义域为(,2)(2,)． ……… 3分

由

任取x(,2)因为f(x)loga(2,)，则x(,2)(2,)， ……… 4分 x2x2x21x2logaloga()logaf(x)

x2x2x2x2所以函数f(x)是奇函数. 7分 (Ⅱ)任取x1,x2(2,)，且x1x2 所以f(x1)f(x2)logax12x2 loga2x12x22(x12)(x22) ……… 8分

(x12)(x22)loga(x12)(x22)(x2)(x22)(x12)(x22) 11(x12)(x22)(x12)(x22)4(x2x1) ……… 10分

(x12)(x22)因为2x1x2，于是x120，x220，x2x10， 所以

4(x2x1)(x2)(x22)0，即11． ……… 12分

(x12)(x22)(x12)(x22)(x12)(x22)loga10， ……… 13分

(x12)(x22)又因为0a1，所以loga即f(x1)f(x2)．

所以函数f(x)在(2,)上单调递增． ……… 14分

20. （本小题满分13分）已知：集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立. （Ⅰ）函数f(x)1是否属于集合M？说明理由； x （Ⅱ）设函数f(x)lgaM(a>0)，求实数a的取值范围； 2x1 （Ⅲ）证明：函数f(x)2xx2M.

解：（Ⅰ）f(x)令

1的定义域为，00，， x111，整理得x2x10，此方程无实数解， x1x因此，不存在x0,0所以f(x)0,使得f(x01)f(x0)f(1)成立，

1M； ……… 4分 xaa（Ⅱ）f(x)lg2(a>0)的定义域为Ｒ，f(1)lg，

x12aM 因为f(x)lg2x1所以，存在xR，使得f(x1)f(x)f(1)成立，即

方程lgaaalglg＝＋有解， 22x12(x1)1所以方程

aaa有解，

(x1)21x2122即方程(a2)x2ax2a20有解。 ……… 6分 当a＝2时，x1，符合题意； ……… 7分 2当a2时，即a0，22，时，

由△≥0得a6a40，解得35a35， 所以a[325,2)(2,35].

综上，a[3x25,35] ……… 9分

（Ⅲ）f(x)2x的定义域为Ｒ， 令2x1(x1)2(2xx2)(21)得2x2x20， ……… 10分

x令g(x)22x2，

因为g(0)g(1)20， ……… 12分 所以存在x0(0,1)使得g(x0)202x020， 所以存在x0R使得2x2x1x(x1)2(2xx2)(21)，

故f(x)2xM. ……… 13分