对一道高考试题解法的探究

对一道高考试题解法的探究

作者：江保兵

来源：《新智慧·下旬刊》2018年第01期

【摘 要】2017年普通高等学校招生全国统一卷1理科第17题是一道三角函数试题，试题风格简洁朴素，平易近人。但它和往年的三角函数又迥然不同，它看似简单，却暗藏凶机，一不小心，解题者就会无路可走，不了了之。本文展现的是笔者在解题时的一点感想，供大家参考。

【关键词】高考试题 三角函数 解法 探究 一、试题再现

ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ΔABC的面积为a23sinA。（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ΔABC的周长。

解：（1）SΔABC=12cbsinA=a23sinA，32cbsin2A=a2；由正弦定理：32（2RsinC）（2RsinB）sin2A=（2RsinA）2，得到：sinBsinC=23

（2）cosBcosC=16，sinBsinC=23，cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC=-12. 所以B+C=2π3，A=π3；

然后呢？我们在解题中的问题出现了。 二、解法探究

（一）不以为然，几度放弃

思路1：sinBsinC=sinBsin2π3-B=sinB32cosB+12sinB=23， 34sin2B+1-cos2B4=23，sin2B-π6=56，

该题中，三角形ΔABC的形状是固定的，所以cos2B-π6的值应该是一个定值吧？在这里，我们遇到了第一个困难，cos2B-π6的正负判断。暂时忽略这个困难，假定cos2B-π6=116，沿着这个思路走下去，看看前方的风景。 cos2B=cos2B-π6+π6=cos2B-π6·32-sin2B-π6·12 =116·32-56·12=33-512；

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再来求sinB，这时可利用倍角公式，但这个复杂的结构，使人心生怯意。 sinB=1-cos2B2=1-33-5122=17-3324，

sinC怎么求？第一个想法是利用sinBsinC=23，第二个想法是检查我们的解题思路，由于B，C的各种形式都是对称的，由sin2B-π6=56，一定可得到sin2C-π6=56，我们已经假定cos2B-π6=116，所以由于B，C不相等，我们可以得到cos2C-π6=-116，这样我们通过同样的运算，可以得到

sinC=17+3324.sinB+sinC=17-3324+17+3324。 好复杂，怎么办，是放弃还是继续？继续。 设x=17-3324+17+3324，两边平方，得： x2=17-3324+17+3324+

217-3324·17+3324=1712+1612=114，x=112。

ΔABC的周长：a+b+c=3+2R（sinB+sinC）=3+3sinA·112=3+33。

思路2：cosBcosC=16，sinBsinC=23两式作比得：tanBtanC=4，又tan（B+C）=-3，得到tanB+tanC=27，不妨设B tanB=27-112，tanC=27+112，

到此，又看到繁锁的运算。由同名三角函数的运算，得到： sinB=27-1133-9，sinC=27+1133+9 sinB+sinC=27-1133-9+27+1133+9=112；

ΔABC的周长：a+b+c=3+2R（sinB+sinC）=3+3sinA·112=3+33。

评析：这两种解题方法思路自然，但运算量太大，且各种关系错综复杂，难以判断，没有一定的数学功底是无法完成的，它们显然不是解题的好方法。 （二）上下求索，稍见光明

思路3：b+c=2R（sinB+sinC），由题意，2R=asinA=23， 利用和差化积公式：sinB+sinC=2sinB+C2cosB-C2，

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再由倍角公式：cos2B-C2=1+cos（B-C）2=1+cosBcosC+sinBsinC2=1112， 所以：ΔABC的周长：a+b+c=a+2asinA·32·cosB-C2=3+43·32·1112=3+33.

评析：这种解题方法运算量不大，用到了三角函数中的和差化积公式，而这些公式在高考中并不要求掌握，它也不是解题的好方法。 （三）转变思路，柳暗花明

思路4：cosBcosC=16，sinBsinC=23，

bc=（2RsinB）（2RsinC）=asinA2（sinB·sinC）=8， 由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA， 把a=3，bc=8，cosA=12代入到上式，得到：b+c=33， ΔABC的周长：a+b+c=3+33。 思路5：cosBcosC=16，sinBsinC=23，

136=cos2Bcos2C=（1+sin2B）（1-sin2C），49=sin2B·sin2C，由此得到： sinB+sinC=sin2B+sin2C+2sinBsinC=112，

ΔABC的周长：a+b+c=3+2R（sinB+sinC）=3+3sinA·112=3+33

评析：这两种解题方法运算量较小，用到了知识较为基本：正、余弦定理与简单的代数变形，解题方法也较为基础：主要是消元的方法和解方程的思想，它正是我们所追求那种简洁高效的解题方法。

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