(5)八大分 0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 布 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为 p。事件A发生的次数是随机变量，设为 X，则 X可能取值为0,1,2,, n。 P(X k) Pn(k) Cpqkkn k，其中 q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n， 则称随机变量 X服从参数为n， p的二项分布。记为 X〜B(n, p)。 当n 1时， P(X k) pqk1 k，k 0.1，这就是(o-1)分布，所以(0-1)分布 是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量X的分布律为 k P(X k) — e ， k! 0，k 0,1,2 的泊松分布，记为 X ~ ， 则称随机变量 X服从参数为 ()或者P()。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=^, nTB)。 超几何分布 P(X k) CM?CNM k 0,1,2 ,1 CN ,1 min(M,n) 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布 P(X k) qk 1 p, k 1,2,3,，其中 p>0，q=1-p。 A 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。 均匀分布 f(x)------- ，即 设随机变量X的值只落在 ［a，b］内，其密度函数在［a，b］上为常数 b a 1 f (x) b a 0 ,aw xw b 其他， 则称随机变量 X在［a，b］上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。 分布函数为 广 0， x 指数分布 「 e f(x) w 0, 其中 0，则称随机变量X服从参数为 X的分布函数为 的指数分布 1 F(x)' 记住积分公式： 0, e x ， x<0。 x xe dx n! n x 0 正态分布 设随机变量X的密度函数为 1 — f(x) 其中 、 2J2 2 x ， X ， 0为常数，则称随机变量 X服从参数为 、 的正态分布或高斯(Gauss 分布，记为X ~ N(,)。 f(X)具有如下性质： 对称的； 1° f(x)的图形是关于X 2°当X 时，f( ) 2 1 _ 为最大值； V2 若x ~ N(,)，则X的分布函数为 彳 F(x) 1 V2 0住)2 x ----------- 2^ e dt 2 o o 参数 、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为 X~N(0,1)，其密度函数记为 1 乂 2(x) VTe ，x， 分布函数为 1 X丄 (x)厂 e 2dt。 (x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 1 ①()=1-①(X且 ①()=一。 2 2 X 如果 X~N(,)，则 〜N(0,1)。 。 P(x1 X x2) (6)分位数 下分位表：P(X )=； )=。 已知布 上分位表：P(X (7)函数分 布 离散型 X的分亍列为 X P(X Xi) Y g(X) 的 Y P(Y y) X1, X2, P1, P2, i勺分布列(yi , Xn, , Pn,' g(xi )互不相等)如下： , g(xn), , Pn, g(X1), g(X2), P1, P2, 若有某些g() 0)相等，则应将对应的 Pj相加作为g (Xi)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fxx)写出丫的分布函数Fv(y) = P(g(X)< y),再利用变上下限积分的求导公式求 出 ％y)。 第三章二维随机变量及其分布 (1)联合分 离散型 布 如果二维随机向量 (X, Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称 为离散型随机 设 =(X，Y)的所有可能取值为(Xi,yj)(i,j 1,2,)，且事件{ =(Xi,yj)}的概率为 Pij,,称 P{(X,Y) (Xi,yj)} Pj(i,j 1,2,) 为 =(X，Y)的分布律或称为 X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： y1 y2 ・・・ yj ・・・ X1 X2 pn P21 P12 P22 ・・・ P1j P2j ・・・ ・・・ ・・・ Xi Pi1 ・・・ Pij ・・・ 这里Pij具有下面两个性质 (1) (2) i j Pij>0 (i,j=1,2,…)； Pj 1. 连续型 对于二维随机向量 (X,Y)， 如果 存在非负函数 f(x,y)( x , y 使对任意一个其邻边分别平行于坐标 )， 轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a 关系 (5)边缘分 布 离散型 X的边缘分布为 P? P(X xj j Pj(i,j 1,2,)； Y的边缘分布为 P?j P(Y yj) i Pj(i, j 1,2,)。 连续型 X的边缘分布密度为 fx(x) Y的边缘分布密度为 f (x, y)dy； fY(y) (6)条件分 布 离散型 f (x, y)dx. 在已知X=Xi的条件下，Y取值的条件分布为 Pij P(Y yj |X xj 二； Pi? 在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 P(X Xi|Y yj)—, 连续型 Pij P?j 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y) f(x,y)； fY(y) 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(y|x)曽 fx(X) (7)独立性 一般型 离散型 F(X,Y)=F(x)FY(y) Pij Pi?P?j 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ① 可分离变量 ② 正概率密度区间为矩形 1 x 1 2 (x 1)(y 2二维正态分布 2) y 2 2 2 1 2 2 f (x, y) 2 1 1 2(1 / ------ - e 201 2) 1 =0 随机变量的函 若Xi,X2，…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则： h ( Xi, X2,…Xm)和 g ( Xm+1,…Xn)相互独立。 数 特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 (9)二维正 态分布 设随机向量(X, Y)的分布密度函数为 2 2 1 x 1 1 2 (x 1)(y 1 2 2) y 2 2 f(x, y) 2 0, N ( 1 1 21 2(1 2) 2 6J1 其中1, 2, 1 2 0,| | 1是5个参数，则称(X， 2, 1 Y)服从二维正态分布， 记为(X, Y〜 , , 2 ,)・ 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即X〜N ( 1 , 12),Y~N( 2, ；)• 0 0 但是若X〜N ( (10)函数分 布 11 , )，丫 ~ N( 2, 2)，(X，丫未必是二维正态分布。 Y z) Z=X+Y 根据定义计算：FZ(z) P(Z z) P(X 对于连续型，f^z)= f (xz, x)dx 1 2 1 2 2 2 )。 两个独立的正态分布的和仍为正态分布( , n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 2 i i i > 2 2 2 C・ i C 2 i i i 22 Z=max,min(Xi, 若X1,X2 Xn相互独立，其分布函数分别为 FX1 (x)， Fx2 (x) FXn (x)，则 Z=max,min(X1,X2,… X2,…Xn) Xn)的分布函数为： Fmax(x) Fx1(x)?Fx2(x) Fxn(x) 1 [1 卩沟仪)]?[1 FX2(X)] Fmin(x) [1 Fxn(x)] 2分布 设n个随机变量X1,X2, ,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 n W i 1 的分布密度为 “ n Xi 21 f(u) 2 y 2 0 , 2 2 U 2 e 2 2 n — 1 — u u 0, u 0. 我们称随机变量 W服从自由度为n的 分布，记为 W〜2(n)，其中 n — 2 0 2 - i x2 e xdx. 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设 丫i k 2 (n),i 则 Z i 1 丫 ~ (ni n2 X ~ N(0,1),Y~ 2nQ. (n), 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 t分布 可以证明函数 T 二 丁丫 / n 的概率密度为 f(t) n 1 2 / 勺n n 1 n — 1 一 n t2 2 ' ( t ) 八 2 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t(n)。 t1 (n) t (n) F分布 2(、 2(、 X / n〔 的概率密度函数为 设X ~ (n 1), Y ~ (n2)，且X与丫独立，可以证明F Y/n 2ni n2 f(y) f(y2 n1 2 2 n2 丿 ni 2 号 y2 1 y n2 0,y 0 山 1n1 n2 ni n2 2 ，y 0 我们称随机变量F服从第一个自由度为 ni,第二个自由度为n2的F分布，记为F〜f(ni,n2). F (ni,n?)厂 第四章 随机变量的数字特征 XI F (n, nJ 2/ \\ (- > 随变的字征维机量期望 数特期望就是平均值 离散型 设X是离散型随机变量，其分布律为 连续型 P(X xk) 设X是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)， =Pk，k=1,2,…,n， n E(X) (要求绝对收敛) xf (x)dx E(X) (要求绝对收敛) 函数的期望 Y=g(X) n Xk Pk k 1 Y=g(X) E(Y) k 1 g(Xk)Pk E(Y) g(x)f (x)dx 方差 D(X)=E[X-E(X)2, 标准差 D(X) [Xk E(X)] Pk k 2 D(X) [x E(X)]2 f (x)dx (X) JD(X), 矩 ① 对于正整数k,称随机变量X的k次幂的数学期望 为X的k阶原点矩，记为v«即 ① 对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期 望为X的k阶原点矩，记为v«即 V k=E(X)二 X：Pi , k=1,2,… i v k=E(刈=xkf(x)dx, k=1,2,… ② 对于正整数 k，称随机变量 X与E (X)差的k 次幂的数学期望为 X的k阶中心矩，记为 k，即 ② 对于正整数k,称随机变量X与E( X)差的k次幂 的数学期望为X的k阶中心矩，记为 k，即 k E(X E(X))k k k E(X E(X ))k =(Xi i E(X)) Pi , k=1,2,… =(x E(X)) f(x)dx, k=1,2,… k 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E (X) =g,方差D ( X) 2 P(|X I ) 2 =b 2,则对于任意正数£，有下列切比雪夫不等式 率 切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下，对概 P(|X 的一种估计，它在理论上有重要意义。 ) (2) 期望 的性 (1) (2) E(C)=C E(CX)=CE(X) n n CE(3) 质 (4) E(X+Y)=E(X)+E(Y)E( CiXi ) i 1 i 1 i(Xi) E(XY)=E(X) E(，充分条件：X 和 丫 独立； 充要条件：X和Y不相关。 (3) 方差 的性 质 (1) D(C)=0 E(C)=C (2) (3) (4) D(X)=E(X)-E2(X) (5) D(X± Y)=D(X)+D(Y)充分条件：X 和 丫独立； 充要条件：X和丫不相关。 D(X± Y)=D(X)+D(Y)± 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]无条件成立。 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)无条件成 D(aX)=^D(X); E(aX)=aE(X) D(aX+b)= aD(X); E(aX+b)=aE(X)+b 立。 期望 方差 (4) 常见 分布 的期 望和 0-1 分布 B(1, p) p 二项分布B(n, p) p(1 p) np np (1 p) 泊松分布P() 方差 几何分布G(p) 1 P 1 P ~2~ P 超几何分布 H(n, M, N) nM N ,M N n nM 1 N N N 1 均匀分布U (a,b) a b (b a)2 12 2 指数分布e() 1 21 2 2 正态分布N ( , ) n 2 分布 2n t分布 0 -------- (n>2) n n 2 (5) 期望 二维 n E(X) i 1 n Xi Pi? E(X) xfX (x)dx 随 机 变 量 E(Y) j 1 yj P?j E(Y) yfY(y)dy 的 数 字 特 函数的期望 E[G(X,Y)]= E[G(X,Y)]= 征 G(Xi, y j)Pj i j G(x, y) f (x, y)dxdy 方差 D(X) [Xi i D(X) E(X)]2pi? [x E(X)]2fx (x)dx D(Y) j [Xj E(Y)]2p?j D(Y) [y E(Y)]2fY(y)dy 协方差 对于随机变量X与Y ,称它们的 二阶混合中心矩11为 X与 Y的协方差或相关矩，记为 XY 或 cov(X, Y) ，即 XY 11 E[(X E(X ))(Y E(Y))]. XX 与 YY。 与记号 XY相对应， X与Y的方差D (X)与D (Y)也可分别记为 相关系数 对于随机变量X与丫，如果D(X)>0, D(Y)>0,则称 XY JD(X)JD(Y) XY (有时可简记为 为X与Y的相关系数，记作 )。 | | < 1，当 | |=1 时，称 X与丫完全相关：P(X aY b) 1 完全相关正相关，当负相关，当 时， 1时(a 0)， 1(a 0)而当 0时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ① XY 0 ； ② cov(X,Y)=0; ③ E(XY)=E(X)E(Y); ④ D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤ D(X-Y)=D(X)+D(Y) 协方差矩阵 XX XY YX YY 混合矩 对于随机变量X与Y,如果有E(X kYl )存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ki ； k+l阶 混合中心矩记为： uk E[(X E(X))k(Y E(Y))1]. (6) 协方 差的 性质 (7) 独立 (i) (ii) (iii) (iv) (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(Xi+X2, Y)=cov(X,Y)+cov(X；Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 若随机变量 X与Y相互独立，则 〜N ( 2 XY 0 ； ) 反之不真。 2(ii) 和不 若(X，Y) ' 1) 2? 1 ) 2 1 丿〉 相关 则X与Y相互独立的充要条件是 X和Y不相关。 第五章 大数定律和中心极限定理 ( 1)大数定律 X ( 2)中心极限定理 2 X N(,) n 切比雪 夫大数 定律 大数定 辛钦大 数定律 格定理 设随机变量 冶，X2,…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C所界：D (Xi) P lim Lx,丄 n n ° E(Xi) n i 1 i 1 1 特殊情形: 若 X1， X2， …具有相同的数学期望 E (X)=「 则上式成为 lim P 1 n Xi n 1 . 设卩是n次独立试验中事件 A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意 的正数£，有 lim n 1. 伯努利大数定律说明，当试验次数 很大时，事件 A发生的频率与概率有较大判别的可能性很 小，即 lim n 0. 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 设X1, X2,…，Xi，…是相互独立同分布的随机变量序列，且 E ( Xn) =g，则对于任意的正数£有 1 n lim P X1n n i i 1 . 设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： E(Xk) ,D(Xk) 0(k 1,2, )，则随机变量 n Xk n Yn k 1 的分布函数Fn(x)对任意的实数X， Xk n 2X t lim F2 n (x) lim e dt. n n 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗 设随机变量Xn为具有参数n, p（0 样本均值 其性质 一 1 X n Xi. n i 1 —2 1 / n —、2 样本方差 a S . n 1 i 1 n (v(X X). 样本标准差 S 1 J / i 1 \\ n 1 1 (x X)2 (XX) - 样本k阶原点矩 Mk 1 n X,k 1,2, k i ■ n i 1 样本k阶中心矩 Mk 1 n (X i X),k k 2,3,. n 1 2 E(X) ， D(X) n E(S) 22 *2 E(S )n 1 2 n > n 其中S* 2 1 n (Xi 2 X)，为二阶中心矩。 1 2 (2)正态总 体下的四大 正态分布 设 Xi, X2 , ,x n为来自正态总体N(, )的一个样本，则样本函数 分布 def X u 设 Xi, X2 , _ N(0,1). t分布 ,X n为来自正态总体N(, 2 )的一个样本，则样本函数 def X t s. 1), 其中t(n-1)表示自由度为 n-1的t分布。 2 分布 设 Xi, X2 , ,xn为来自正态总体N(, def 2 )的一个样本，则样本函数 2 2 , (n 1)S 2 八 w 其中 2 ~ (n 1), (n 2 1)表示自由度为n-1的 ,Xn为来自正态总体 )的一个样本，则样本函数 def 分布。 F分布 设 Xi, X2, N( ,12) 的一个样本，而 丫1」2, ,Yn 为来自正态总体 N( , 1 S； / 21 F_^- 2 S； / 2 F(n〔 1,门2 1), 其中 Si ni 2 1 n i — 2 ‘1 i i (Xi X) 2 1 SS 2 A n 2 (Yi ■y)2; 匕1 i 1 1的F分布。 F(m 1, n2 1)表示第一自由度为m 1，第二自由度为n2 (3)正态总 2 X与S独立。 体下分布的 性质 第七章参数估计 (1 )点 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数 m，则其分布函数可以表成 F(X； 1, 2 m ).它的k阶原 , m) 估计 k 点矩 Vk E(X )(k 1,2, ,m)中也包含了未知参数 12 , , , m，即 vk vk( 1, 2, 又设X1 , X2 , , Xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 k n i 1 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 V1 ( 1 , 2 , V2 ( 1 , 2 , Vm( 1, 2 , 由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(「2, i (k 1,2, ,m). ,m ) n 1 n Xi , i 1 ,1 n 2 m) Xi n i 1 ,1 n m) n 1i 1 , m)即为参数(1, 2, , m)的矩估计量。 若 为 的矩估计，g(x)为连续函数，则g( 3为g()的矩估计 极大似然 估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 f (X； 1 , 2 m )，其中 数。又设X1 , X2 , , xn为总体的一个样本，称 n L( 为样本的似然函数，简记为 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 f (Xi； m ) P{X X} p(x; m )，则称 (2 )估 计量的 评选标 准 无偏性 致性 L(X1,X2 , , Xn； 1, 2, m ) p( Xi； m ) 为样本的似然函数。 若似然函数L(X1 ,X2, , Xn; 1, 2 m )在1 m处取到最大值, 则称 1 , 分别为 m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 In Ln 0,i 1,2, ,m -H-*若 为 的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g ( ?)为g()的极大似然估计。 (x1 , X2, , Xn )为未知参数 的估计量。若E ()=，则称 为 的无偏估计量。 E( X)=E( X)， E(於)=D( X) 设1 1 (x1 , X,2 , , xn )和 2 2 (x1 , x,2 , , xn)是未知参数 的两个无偏估计量。若D ( 1 ) D ( 2)，则称1比2有效。 设n是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有 lim P(| n | ) 0, 则称 n为的一致估计量(或相合估计量)。 若 为 的无偏估计，且D( ?) 0(n ),则 为 的一致估计。 只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 2 (3 )区 间估计 置信区间 和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本x1, x,2 , 2 ,Xn岀发，找岀两个统计量 ) 1 (X, x,, 11 2 , x) n 与 2 (X1,X,2, , Xn)( 1 2 ， 使得区 间［ 1 , 2 ］ 以 1 (0 1)的概率包含这个待估参数 ，即 P{ 1 2 } 1 7 那么称区间［1, 2］为 的置信区间，1 2 为该区间的置信度(或置信水平) 。 2 单正态总 设 x1, x,2 , , Xn 为总体 X ~ N( 7 )的一个样本，在置信度为1 下, 我们来确定 和 的置信区 体的期望 和方差的 间［1, 2］。具体步骤如下： (i)选择样本函数； 区间估计 (ii)由置信度1 ，查表找分位数； (iii)导岀置信区间［1, 2］。 已知方差，估计均值 (i)选择样本函数 u X o /』 -N(0,1). n (ii)查表找分位数 P X 0 z n ■— 1 (iii)导岀置信区间 X 0 _ 厂， X 0 /~ J n (i)选择样本函数 v n 未知方差，估计均值 X t - SV」 一 (ii)查表找分位数 X P S/玄n 厂 1 . (iii)导岀置信区间 X S - _S J n 基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设 Ho是否成立。我们先假定 Ho是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就 表明原来的假定Ho是不正确的，我们拒绝接受 Ho;如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受 Ho,我们称Ho是 相容的。与 Ho相对的假设称为备择假设，用 Hi表示。 这里所说的小概率事件就是事件 ｛K R ｝，其概率就是检验水平a,通常我们取a 基本步骤 =，有时也取或。 假设检验的基本步骤如下： (i) 提出零假设Ho； 选择统计量K; 对于检验水平a查表找分位数入； 由样本值X2 , (ii) (iii) (iv) , Xn计算统计量之值K; （或K ）时否定Ho,否则认为Ho相容。 Ho。这时，我们 将K两类错误 与 进行比较， 作出判断：当|K | 第一类错误 当Ho为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定 把客观上Ho成立判为Ho为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或 第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P否定 Ho|Ho 为真｝=； 此处的a恰好为检验水平。 第二类错误 当Hi为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受 H。。这时，我们 把客观上Ho。不成立判为Ho成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误 或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P接受 Ho| Hi 为真｝=。 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 两类错误的关系 相反地， 变小，则 变大。取定 n—定时， 变小，则 变大； 要想使 变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平aoa大小的选 取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真” 女口，甚至。反之，则应把a取得大些。 、而不愿“以真当假”时，则应把a取得很小， 单正态总体均值和方差的假设检验 对应样本 条件 零假设 统计量 函数分布 否定域 H 0 : 已知2 0 |u| ui U /法 N（o，1） H ：o 0 ou u1 u U1 1 — 2 H 0 : H o : 2 o o |t| t1 (n 1) 誌 t(n 1) t t1 (n 1) t t1 (n 1) w 2未知 H ：0 0 TH o : o (n 1)或 2 Ho： 2 2 2 w 2未知 H ： □ o・ 2 2 …(n 1)S2 W 2 o 1 — 2 (n 1) 2(n 1) w w o ； (n 1) 2H : 2 □ o・ 2 o (n 1) 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容