双等腰直角三角形问题前解法分析 一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的. 一、共直角顶点的两个等腰直角三角形 例1.如图1,已知∆ACB和∆ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点. (1)求证: ∆ACE≅∆BCD; (2)求证: 2CD=AD+DB. 分析 当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一. 例2.如图2，在四边形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG,BG,CG,DG，且∠AGD=∠BGC. (1)求证: AD=BC; (2)求证: ∆AGD:∆EGF; (3)如图3，若AD,BC所在直线互相垂直，求222AD的值. EF 分析 初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，∆DGC和∆AGB均为等腰三角形，当四边形ABCD中AD⊥BC时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形. 二、共底角顶点的两个等腰直角三角形 例3.如图4, A,B分别在射线OM,ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA,OB为斜边向∠MON外侧作等腰直角三角形，分别是∆OAP,∆OBQ，点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点. (1)求证: ∆PCE≅∆EDQ; (2)延长PC,QD交于点R. ①如图5，若∠MON=150°，求证:∆ABR为等边三角形; ②如图6，若∆ARB:∆PEQ，求∠MON的大小和AB的值. PQ 分析 本题中两等腰直角三角形∆OAP与∆OBQ中的一底角顶点O重合，通过∆OAP绕点O旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC)过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE⊥EQ这一中间环节，得出∆PEQ与∆ARB为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近. 例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt∆ABC和Rt∆CEF,∠ABC=∠CEF=90°，连结AF,M是AF的中点，连结MB,ME. (1)如图7，当CB与CE在同一直线上时，求证: MB//CF; (2)如图7，若CB=a,CE=2a，求BM,ME的长; (3)如图8，当∠BCE=45°时，求证: BM=ME. 分析 两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明∆BEM为等腰直角三角形;第(3)问研究在∆CEF绕点C旋转45°时，∆BME的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明. 三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形 例5.如图9，在Rt∆ABC中，∠BAC=90°,AB=AD，点D是AC的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合，连结BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想. 分析 等腰直角∆ADE的底角顶点A与等腰直角∆ABD的直角顶点A重合，借助∆BAE≅∆EDC证明∆BEC为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形∆ADE与∆BEC旋转问题的逆问题. 延 例6 如图10 , ∆ABC和∆ACD是两个等腰直角三角形，∠ACB=∠ADC=90°，长DA至点E，使AE=AD，连结EB,EC,BD. (1)求证: ∆BDA≅∆BEA; (2)若BC=2，求BE的长. 分析 本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长. 四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形 例7如图11，在等腰直角∆ABC中，∠ACB=90°,CO⊥AB于点O，点D,E分别在边AC,BC上，且AD=CE,连结DE交CO于点P，给出以上结论: ①∆DOE是等腰直角三角形; ②∠CDE=∠COE; ③AC=1，则四边形CEOD的面积为④AD2+BE2−2OP2=2DP⋅PE. 1; 4其中所有正确结论正确的序号是 . 分析 本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角∆DOE的直角顶点O在等腰直角∆ABC斜边中点O处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果， 五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形 例8 如图12，等腰直角三角形∆ABC和∆ODE，点O为BC中点，∠BAC=∠ODE=90°,OD交BA于M,OE交AC于N，试求BM,NM,NA的关系，并说明理由. 分析 ∆DOE绕等腰直角∆ABC的底边中点O旋转，在图12~图14三种情况中，对 应的线段和差关系分别是BM=MN+NA,MN=BM+NA.此时∆DOE为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上∠MON=45°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题. 等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.
