电力系统中谐波分析的高精度FFT算法

第５卷第５期　江南大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．５　ＮＯ．５　２００６年１Ｏ月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈｅｒｎ　Ｙａｎｇｔｚｅ　ＵｎｉＶｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　０ｃｔ．　２００６　文章编号：１６７１—７１４７（２００６）０５—０５４７—０４　电力系统中谐波分析的高精度ＦＦＴ算法　钱昊，　赵荣祥　（浙江大学电气工程学院，浙江杭州３１００２７）　摘　要：在非同步采样情况下快速傅立叶变化存在较大的误差，特别是相位的误差，无法直接用于　电力系统谐波分析．为了减小非同步采样对快速傅立叶变换的影响，提高电力系统中的谐波分析　精度，文中通过加窗和插值对原算法进行了改进．仿真结果表明，改进后的算法在非同步采样时，　分析精度有显著提高．　关键词：谐波分析；电力系统；傅立叶变换；泄漏效应；插值算法；　中图分类号：ＴＭ　７１１　文献标识码：Ａ　ＦＦＴ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｗｉｔｈ　Ｈｉｇｈ　Ａｃｃｕｒａｃｙ　ｆｏｒ　Ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｉｎ　Ｐｏｗｅｒ　Ｓｙｓｔｅｍ　ＱＩＡＮ　Ｈａｏ，　Ｚ　ＨＡＯ　Ｒｏｎｇ—ｘｉａｎｇ’　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ　３１００２７，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　Ｆａｓｔ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴ）ｃａｎｎｏｔ　ｂｅ　ｄｉｒｅｃｔｌｙ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｏｗｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｈｉｇｈｅｒ　ｅｒｒｏｒ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｔｈｅ　ｐｈａｓｅ　ｅｒｒｏｒ　ｗｈｅｎ　ｕｓｅｄ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓａｍｐｌｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｓｉｇｎａ１．Ｔｏ　ｒｅｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ａｎ　ｕｎｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚｅｄ　ｓａｍｐｌｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｏｎ　ＦＦＴ　ａｎｄ　ｔｏ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ｏｆ　ｈａｒｍｏｎｉｃｓ　ｉｎ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｏｗｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｉｍｐｒｏｖｅｓ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｗｉｎｄｏｗｓ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ．　Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｆｉｒｓｔｌｙ　ａｄｄｒｅｓｓｅｄ　ｔｈｅ　ｌｅａｋａｇｅ　ａｎｄ　ｐｉｃｋｅｔ　ｆｅｎｃｅ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ＦＦＴ　ｂｒｉｅｆｌｙ　ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ａｎａｌｙｚｅｓ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｎ　Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）ｗｉｎｄｏｗ　ｉｎ　ｄｅｔａｉｌ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ａｓ　ｗｅｌ１．Ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ　ｒｅｓｕｌｔ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｈｏｌｄｓ　ａ　ｖｅｒｙ　ｈｉｇｈ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ｗｈｅｎ　ｕｓｅｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｕｎｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚｅｄ　ｓａｍｐｌｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｈａｒｍｏｎｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ；ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｏｗｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ；Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｌｅａｋａｇｅ；　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　随着电子技术和电力电子器件的发展，半导体　影响了电能的质量．显然，电力系统中谐波分量的　器件等其他非线性负荷在电力系统中的应用越来　快速、准确监测对电能质量的治理具有重要意义．　越广泛，同时电力系统谐波污染也日益严重，从而　电力系统的谐波分析，通常是通过快速傅立叶变换　收稿日期：２００５－－０２—０６；修订日期：２００５－－０５－－１７．　作者简介：钱吴（１９８１一），男，浙江湖州人，电机与电器专业硕士研究生．　＊通讯联系人：赵荣祥（１９６２一），男，浙江杭州人，教授，博士生导师．主要从事电机、电机控制和电力传动等研究　Ｅｍａｉｌ：ｒｏｎｇｘｉａｎｇ＠ｚｊｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　维普资讯 http://www.cqvip.com

５４８　江南大学学报（自然科学版）　第５卷　（ＦＦＴ）实现的．由于实际电网信号的频率通常会在　额定频率附近波动，很难保证对信号的同步采样，　即要求采样长度与信号周期成整数倍数关系ｎ］．　ＦＦＴ存在的泄漏现象和栅栏效应［２。］，使算出的信　号参数即频率、幅值和相位不准，尤其是相位误差　很大，无法满足准确的谐波测量要求．为了提高ＦＦＴ　算法的精度，Ｊａｉｎ等提出了一种插值算法［５］，对ＦＦＴ　线；非同步采样时，频谱变成了以６０　为中心、其形状　为振荡并逐渐衰减的谱线，即信号频谱的频率成分　从６０　“泄漏”到其他频率处．此外，在非同步采样时，　实际信号的各次谐波分量并未正好落在频率分辨　点上，而是落在某两个频率分辨点之间．因为ＤＦＴ　计算频谱时只限制为基频的整数倍数，不能直接得　到各次谐波分量的准确值，而只能以临近的频率分　的计算结果进行了修正，有效地改善了对谐波幅值，　尤其是谐波相位的估计精度．在此基础上，Ｈａｎｎｉｎｇ　窗［６］和Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ窗［７　被提出．通常对窗函数　的要求是主瓣宽度小，旁瓣幅值衰减快，Ｒｉｆｅ提出的　Ｒｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗［８］更好地满足了上述的两个条件．　文中在简要介绍了泄漏现象和栅栏效应的机理　后，详细分析了加窗插值ＦＦＴ算法，并且就Ｒｉｆｅ—　Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗的插值算法进行了分析、推导，最后通过　实例验证了该算法．　１　离散傅立叶变换的泄漏现象和栅　栏效应　在实际谐波测量中，所要处理的信号均是经过　采样和Ａ／Ｄ转换得到的有限长的数字信号，这相当　于对原始信号乘以一个矩形窗进行截短，信号同步　和非同步采样的离散频谱见图１，２．　图１同步采样的频谱　Ｆｉｇ．１　Ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｓａｍｐｌｅｄ　ｂｙ　ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ　图２非同步采样的频谱　Ｆｉｇ．２　Ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｓａｍｐｌｅｄ　ｂｙ　ａｓｙｎｃｈｒｏｎｉｓｍ　由图１，２可以看出，同步采样时，采样序列的离散傅立叶变换（ＤＦＴ）谱是单一的位于　处的谱　辨点的值来近似地代替，这即通常所说的栅栏　效应．　采用适当形状的窗函数截断可以减小频谱泄漏，　而栅栏效应引起的误差则需依靠插值算法来消除．　２　４项余弦窗的特点　Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗实质上都是４项系数余弦窗．　余弦窗的一般表达式为　ｗ　）＝　（＿１）ｋａ　ｋｃｏｓ（　ｋｎ）　＾　Ｏ　。’　‘　一０，１，…，Ｎ一１　（１）　式中，Ｋ为余弦窗的项数，Ｋ一０时，就是矩形窗．　为了使余弦窗具有线性相位特性及满足插值计算　的需要，对系数有如下限制：　ｋ　∑（。。—。一１）　口＾一０　（２）　－０　４项系数余弦窗的函数表达式和ＤＦＴ结果为　Ｗ　（　）一ａｏ—ｎ・ｃ。ｓ（　）＋　０Ｓ（　０Ｓ（　）　一０，１，…，Ｎ一１　（３）　式中：　ＷＨ（ｅ　）＝ＷＨ（ｃ　）ｅ—如‘Ⅳ．　Ｎ，ＷＨ（ｃ　）一　ａｏＷＴ（　）＋（口ｌ／２）・Ｉ－ｗＴ（６０—２￣／（Ｎ一１））＋　ｗＴ（　＋２￣／（Ｎ一１））］＋（口。／２）・　［Ｗｒ（６０—４￣／（Ｎ一１））＋　ｗＴ（　＋４￣／（Ｎ一１））］＋（口。／２）・　Ｉ－ｗｒ（６０—６　／（Ｎ一１））４－　ｗｒ（　４－６　／（Ｎ一１））］　（４）　其中：Ｗ　（　）为矩形窗的ＤＦＴ，　ＷＴ（　）一ＷＴ（　）ｅ－Ｊ‘Ⅳ．　。１　Ｗｒ（　）一　ｓｉｎ（Ｎ丽０６／２）　３基于Ｒｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗的插值算法　为了分析方便，设定信号形式为　Ｘ　（　）一Ａ　ｅｊｃ。　厶件‰，　（６）　式中：Ａ　为信号幅值；，棚为信号频率；　为信号　维普资讯 http://www.cqvip.com

第５期　钱昊等：电力系统中谐波分析的高精度ＦＦＴ算法　５４９　初相．　信号经过采样并于４项系数余弦窗截断后得　ｚ（　）一ｚｍ（　Ｔ　）ＷＨ（　），　一０，ｌ，…，Ｎ—ｌ（７）　式中：ｚ　（ｎＴ　）为ｚ　（￡）的无限长采样序列；　为采　样周期；Ｗ　（　）为４项系数余弦窗；Ｎ为采样点数．　ｚ　（　Ｔ　）的ＤＦＴ为　Ｘ　（　）一２　７ｃＡ　艿　ｍ，（ｕ　一２７厶　（８）　根据频域卷积定理，时域相乘对应频域卷积，　得到ｚ（　）的ＤＦＴ值Ｘ　（　）：　１广＋　ｘＨ（　）一　Ｉ厶了【Ｊ—　　ｘ　（　）ｗＨ［　‘　－］ｄｒ一　Ａｍ　Ｈ（（ｕ一（ｕｍ）ｅｓ‘％一‘Ｎ一　‘一　。　（９）　设定谐波信号采样序列对应的离散频点为　（忌　＋　）一Ｎ・ｆｍ／　（１Ｏ）　式中：ｋ　为正整数，０≤艿　＜ｌ，在实际应用中Ｎ一　般比较大，而且Ｉ　Ｉ＜ｌ，得　Ｉ　ＸＨ（　）Ｉ　恤／Ｎ≈Ａ　ｓｉｎ（￣３ｍ）・　（ｆｏ＋Ｃ２　＋Ｃ４砩＋Ｃ６　）／　［７ｃ　（１一　）（４一　）（９一　）］　（１１）　Ｃｏ一３６ａｏ，Ｃ２一一４９ａｏ＋３６ａｌ一９ａ２＋４ａ３，　Ｃ４—１４ａｏ一１３ａｌ＋１０ａ２—５ａ３，　Ｃ６＝一口ｏ＋口ｌ一口２＋口３　Ｉ　ＸＨ（　）Ｉ　（ｋ＋１）　／Ｎ≈Ａ　ｓｉｎ（ｎ３．）・　ｍ（６。＋ｂｔ　＋ｂｚ　＋ｂ。　＋ｂ４　＋ｂｓ　＋６　醴）／　［７ｃ　（１一　）（４一　）（３一艿　）（４一　）］（１２）　ｂｏ一２４ａｌ，６ｌ一４８ａｏ一２６ａｌ一１６ａ２＋６ａ３，６２—　２０ａｏ一２７ａｌ＋３６ａ２一ｌｌａ３，ｂ３一一３６ａｏ＋３２ａｌ一２０ａ２，　一一口０＋２口ｌ一５口２＋１０ａ３，ｂｓ一６（口。一口ｌ＋口２一口３），　一一口ｏ＋口ｌ一口２＋口３　设　　ＩＸ　（　）Ｉ　一（　＋１】．静／Ｉ　Ｘ　（　）Ｉ　～　．　（１３）　则可得　＝（ｂｏ＋ｂ　＋ｂｚ　＋ｂ。　＋　６　＋６　＋ｂ　）・（３＋　）／　［（ｃ。＋Ｃ２　＋Ｃ４　＋ｆ　）（４一艿　）］　（１４）　对于Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗，Ⅱｏ—１．０，Ⅱｌ—１．５，　Ⅱ２＝０．６，Ⅱａ一０．１，代人式（１４）得　一（３＋　）／（４一艿　）　（１５）　在得出准确的　值后，由式（１０）可以求出准确　的频率　，由式（１１）可以求出幅值Ａ　（当　Ｉ　Ｘ一（　）Ｉ　。“　＋１】　／Ｎ大于Ｉ　Ｘ　（　）Ｉ　一　／　时，　用Ｉ　Ｘ　（　）Ｉ￣（ｋ　＋１）．２ｎ／Ｎ　来计算　Ａ　），相位计算采ｎｉ用式（９），结果如下：　厶＝（忌　＋　）・　／Ｎ　（１６）　Ａ　≈Ｉ　ＸＨ（　）Ｉ￣ｋ　．ｍ２　Ｎ・３６７ｃ艿　（１一　）・（４一　）（９一　）／ｓｉｎ（Ｕ＃ｍ）　（１７）　ｍ　ａｎｇｌｅ（Ｘ（ｅ￣）Ｉ　～　．符）一８，．ｒｔ（Ｎ一１）／Ｎ（１８）　采用上述插值方法后，信号频率和幅值已经达　到了相当高的精度．最后需要注意的是，在实际测　量中，应该合理选择采样周期和采样频率．　４模拟分析结果　以下给出一组信号的计算实例．设定信号为　１３　ｚ（￡）一　Ａ　ｃｏｓ（２ｎｍｆｌｔ＋　）　（１９）　，ｎ—ｌ　其中，基波频率设为４９．５　Ｈｚ（我国电网额定频率为　５０　Ｈｚ，允许电网频率的波动范围是４９．５～５０．５　Ｈｚ），基波最大幅值为３８０　Ｖ，初相为ｌ０。．设置电网　谐波参数见表１．　表１谐波参数的设置　Ｔａｂ．１　Ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｓｅｔｕｐ　由于最大的频谱泄漏是基波对２次谐波的影　响，而表ｌ中基波和２次谐波的幅值相差一４６　ｄＢ，　故若希望将泄漏限制在０．１　（即一６０　ｄＢ）以内，则　分辨率要求△Ａ至少１０６　ｄＢ，截断时窗函数长度也　至少需要４个信号周期［ｇ］．　若采样点数Ｎ设定为ｌ　０２４个，采样频率为　２　５００　Ｈｚ，这样以电网额定频率５０　Ｈｚ为基准，实际　采样信号的周期个数约为２Ｏ个，符合限制泄漏要求．　基于普通ＦＦＴ算法和基于Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗　插值ＦＦＴ算法的电网参数估计见表２＂－４．　表２频率估计结果　Ｔａｂ．２　Ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　维普资讯 http://www.cqvip.com

５５Ｏ　江南大学学报（自然科学版）　第５卷　表３幅值估计结果　Ｔａｂ．３　Ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　表４相位估计结果　Ｔａｂ．４　Ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｐｈａｓｅｓ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　分析表２至表４的结果，可以得出以下结论：　（１）基于普通ＦＦＴ算法的谐波频率（尤其是基频和　２次谐波）估计精度达不到电能质量的国家标准，而　谐波幅值和谐波相位的估计由于和实际值相差太　大，根本没有意义；（２）基于Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗的插　值ＦＦＴ算法对频率的估计精度相当准确，基本和实　际电网基波、谐波频率一致，而对于幅值，此算法的　分析精度控制在０．５　以内，相位的精度也有很大　的提高，完全符合国家标准；（３）与文献［９］相比，在　同样的采样长度下，基于Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗的插值　ＦＦＴ算法相比基于Ｈａｎｎｉｎｇ窗的插值ＦＦＴ算法，　进一步提高了频率估计的精度，而对于幅值估计，　精度从０．５　提高到了０．１　以内，使得频率、幅值　和相位的估计均符合国家标准．　加矩形窗和Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗后，由ＦＦＴ算法　得到的频谱见图３，４．从图中不难看出，矩形窗造成　了频谱泄漏，而Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗将多频率信号中　的各频率信号完全分开，限制了频谱的泄漏．　∞　孽　图３加矩形窗后的频谱　Ｆｉｇ．３　Ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｔａｐｅｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ　ｗｉｎｄｏｗ　ｌ　ｌ　∞口／］　馨　●　ｌ　如　∞　如　０　如　∞　频率，Ｈｚ　图４加Ｒｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔ【Ｉ）窗后的频谱　Ｆｉｇ．４　Ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｔａｐｅｒｅｄ　ｗｉｔｈ　Ｒ－Ｖ（Ｉ）ｗｉｎｄｏｗ　５　结　语　文中提出的基于Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗的插值　ＦＦＴ算法应用于谐波分析，有效地提高了估计精　度，从而有利于准确获得电力系统中的谐波参数．　当然，该插值算法仍有很多地方有待进一步改进，　如Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗并未严格满足线性相位要求，　由此造成相位的误差相对于频率和幅值较大．从表　４可以看出，基于Ｒｉｆｅ—Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ｉ）窗的插值ＦＦＴ　算法，对于２次谐波相位的估计精度为６．６１１　，能　够通过对窗系数进行修正以满足线性相位，从而进　一步提高相位精度；也可以考虑选用５项窗（旁瓣　衰减约为一１３０　ｄＢ）来抑制泄漏；选用　和（　＋２）　两个频率分辨点在一定程度上也可以提高估计的　精度［１　．　（下转第５５５页）　维普资讯 http://www.cqvip.com

第５期　张影等：一种电力市场培训系统的能量与备用市场统一出清模型及其算法实现　如船　“铊加　¨　５５５　备用市场统一出清模型及算法实现的过程，给出了　一种日前市场中的能量市场与备用市场同时出清　莩　的模型，以及电价形成过程及算法实现，并利用一　个算例说明了该模型的出清过程，最后给出了系统　至　篓　在阻塞和无阻塞两种情况下节点电价及３种备用　电价的比较．结果表明，该模型能够同时出清能量　与辅助服务市场，可以表示出输电线路在阻塞情况　下对节点电价的影响，适用于电力市场培训系统．　图４　３种备用价格的比较　文中所述发电厂商报价全部基于成本报价并没有　Ｆｉｇ，．４　Ｔｈｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆＰｒｉｃｅｓ　ｏｆｔｈｒｅｅ　ａｎｃｉｌｌａｒｙ　ｓｅｒｖｉｃｅｓ　考虑到发电厂商报价策略的影响，同时为了简便计　算，竞价模型忽略网损和机组的启停限制，所以竞　价模型还不很完善，这些都有待于在以后的工作中　进一步解决．　４　结　语　文中介绍了一种电力市场培训系统的能量与　参考文献：　［１３王锡凡，王秀丽，陈皓勇．电力市场基础［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，２００３．　［２３尚金成，黄永皓．电力市场技术支持系统设计与关键技术研究［Ｍ］．北京：中国电力出版社，２００２．　［３３尚金成，黄永皓，夏清，等．电力市场理论研究与应用［Ｍ］．北京：中国电力出版社，２００２．　［４１陈皓勇，王锡凡，王秀丽，等．基于Ｊａｖａ的电力市场竞价实验平台设计、实现及应用［Ｊ］．电力系统自动化，２００４，２８（１７）：２２—２６．　［５３　Ｃｏｎｔｒｅｒａｓ　Ｊ，Ｃｏｎｅｊｏ　Ａ　Ｊ，ｄｅ　ｌａ　Ｔｏｒｔｅ　Ｓ，ｅｔ　ａ１．Ｐｏｗｅｒ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｌａｂ．ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ　ｍａｒｋｅｔ　ｓｉｍｕｌａｔｏｒ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｐｏｗｅｒ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００２，１７（２）：２２３—２２８．　［６１　Ｍａｒｃｅｌｉｎｏ　Ｍａｄｒｉｇａｌ，Ｍａｒｃｅｌｏ　Ｆｌｏｒｅｓ．Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｐｌａｔｆｏｒｍ　ｔｏ　ｔｅａｃｈ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ　ｓｐｏｔ　ｍａｒｋｅｔ　ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅｓ　［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｐｏｗｅｒ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００４，Ｉ９（１）：８８—９５．　［７１　Ｒａｎａｔｕｎｇａ　Ｒ　Ａ，Ａｎｎａｋｋａｇｅ　Ｕ　Ｄ，Ｋｕｍｂｌｅ　Ｃ　Ｓ．Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｉｎｇ　ｒｅａｃｔｉｖｅ　ｐｏ、ｖｅｔ　ｉｎｔｏ　ｍａｒｋｅｔ　ｄｉｓｐａｔｃｈ［Ｊ］．　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２００３，６５：１７９。１８６．　Ｅ８３张伯明，陈寿孙．高等电力网络分析［Ｍ］．北京：清华大学出版社，１９９６．　［９１　Ｇｅｒａｒｄ　Ｌ　Ｄｏｏｒｍａｎ，Ｎｙｇｒｅｅｎ　Ｂ．Ａｎ　ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｍａｒｋｅｔ　ｐｒｉｃｉｎｇ　ｏｆ　ｅｎｅｒｇｙ　ａｎｄ　ａｎｃｉｌｌａｒｙ　ｓｅｒｖｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２００２，６１：１６９．１７７．　（上接第５５０页）　（责任编辑：杨勇）　参考文献：　［Ｉ］Ｍｉｔｒａ　Ｓ　Ｋ．Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ－ａ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－Ｂａｓｅｄ　Ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｍ］．Ｂａｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，２００１：４４６—４６０．　［２］孙仲康．快速傅立叶变换及其应用［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，１９８２：１１０—２１０．　［３］布赖姆Ｅ　０．快速傅立叶变换［Ｍ］．柳群，译．上海：上海科学技术出版社，１９７９：１００—２００．　［４］胡广书．数字信号处理一理论、算法与实现［Ｍ］．北京：清华大学出版社，１９９７：１００—２０６．　［５］Ｊａｉｎ　Ｖ　Ｋ，Ｃｏｌｌｉｎｓ　Ｗ　Ｌ，Ｄａｖｉｓ　Ｄ　Ｃ．Ｈｉｇｈ—ａｃｃｕｒａｃｙ　ａｎａｌｏｇ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ　ｖｉａ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ　ＦＦＴ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｓｔｒｕｍ　Ｍｅａｓ，１９７９，２８（２）：１１３－Ｉ２２．　［６］Ｇｒａｎｄｋｅ　Ｔ．Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｏｆ　ｗｅｉｇｈｅｄ　ｓｉｇｎａｌｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｓｔｒｕｍ　Ｍｅａｓ，　１９８３，３２（２）：３５０－３５５．　［７］Ｈａｒｉｒｓ　Ｆ　Ｊ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｗｉｎｄｏｗｓ　ｆｏｒ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ　ＩＥＥＥ，１９７８，６６（１）：５１—８３．　［８］Ｒｉｆｅ　Ｄ　Ｃ，Ｖｉｎｃｅｎｔ　Ｇ　Ａ．Ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ　ａｎｄ　ｌｅｖｅｌｓ　ｏｆ　ｔｏｎｅｓ［Ｊ］．　Ｔｈｅ　Ｂｅｌｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ，１９７０（１）：１９７—２２８．　［９］祁才君，陈隆道，王小海．应用插值ＦＦＴ算法精确估计电网谐波参数［Ｊ］．浙江大学学报：工学版，２００３，３７（１）：１１２—１１．　［１Ｏ］赵文春，马伟明，胡安．电机测试中谐波分析得高精度ＦＦＴ算法［Ｊ］．中国电机工程学报，２００１，２１（１２）：８３—８７．　（责任编辑：杨勇，彭守敏）