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电力系统谐波分析的高精度FFT算法

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查看文章电力系统谐波分析的高精度FFT算法2009-11-09 11:35原文出处：http://ctis.wanfangdata.com.cn/periodical/periodical.articles/zgdjgcxb/zgdj99/zgdj9903/990315.htm 电力系统谐波分析的高精度FFT算法张伏生耿中行葛耀中摘要快速傅立叶变换存在较大的误差，无法直接用于电力系统谐波分析。本文对FFT的泄漏误差进行了分析，根据Jain和Grandke提出的插值算法提出了多项余弦窗插值的新算法，对FFT的结果进行修正，极大地提高了计算精度，使之适用于电力系统的准确谐波分析。文中给出了该算法进行谐波分析模拟计算的算例，计算结果表明，不同的加窗算法计算精度不同，新算法的计算精度显著提高。关键词傅立叶变换电力系统谐波中图分类号 TM714 FFT ALGORITHM WITH HIGH ACCURACY FOR HARMONIC ANALYSIS IN POWER SYSTEM Zhang Fusheng Xian Jiaotong University Xian,710049 China Geng Zhongxing Research Center for Aviation Engineering and Technology,Beijing 100076 China Ge Yaozhong Xian Jiaotong University Xian,710049 China ABSTRACT The FFT has a higher error in the harmonic analysis of the electric power system, especially for the phases. This paper discussed the leakage of FFT and presented a new amending algorithm, poly-cosin window interpolation, which based on the interpolating algorithm proposed by K. Jain and T. Grandke. This new algorithm obviously improves the accuracy of the FFT, so it can be applied to the precision analysis for electrical harmonic. The simulating result shows that applying deferent windows has the deferent effects to the accuracy, and the Blackman-Harris window has the highest accuracy. KEY WORDS Fourier transform Electric power system Harmonic 1 引言近年来，随着电力电子技术的广泛应用，电力系统谐波污染日益严重，已成为影响电能质量的公害，对电力系统的安全、经济运行造成极大的影响。所以对电网中的谐波含量进行实时测量，确切掌握电网中谐波的实际状况，对于防止谐波危害，维护电网的安全运行是十分必要的。电力系统的谐波分析，通常都是通过快速傅立叶变换(FFT)实现的。然而FFT存在栅栏效应和泄漏现象，使算出的信号参数即频率、幅值和相位不准，尤其是相位误差很大，无法满足准确的谐波测量要求。为了提高FFT 算法的精度，V.K.Jain 等提出了一种插值算法，对FFT的计算结果进行修正，可以有效地提高计算精度。在此基础上，T.Grandke 又利用海宁( Haning)窗减少泄漏，进一步提高了计算精度。海宁窗w(n)＝0.5－0.5cos(2πn/N) 是一种余弦窗，它仅包括两项。如果增加余弦项的项数，可进一步减少泄漏。本文分析了多项余弦窗的特性，并提出了对加窗后信号进行插值的算法。该算法能极大地提高FFT计算的精度，从而满足谐波测量中对谐波参数的精度要求。文中给出了计算实例，实例表明该算法具有很高的计算精度，即使对于幅值很小的偶次谐波也能准确地求出其各项参数，尤其是对于提高相位计算的精度更为明显。 2 离散傅立叶变换的泄漏与栅栏效应在谐波测量中，所要处理的信号均是经过采样和A/D转换得到的数字信号。设待测信号为x(t)，采样间隔为Δt秒，采样频率fs＝1/Δt 满足采样定理，即fs大于信号最高频率分量的两倍。则采样信号为x［n］＝x(nΔt)，并且采样信号总是有限长度的，即n＝0，1，…，N－1。也就是说，所分析的信号的持续时间为T＝NΔt，这相当于对无限长的信号做了截断，因而造成离散傅立叶变换的泄漏现象。设信号为单一频率信号 xm(t)＝Amejωmt(1)矩形窗为 (2) 持续时间为T的信号相当于xm与wT的乘积http://hi.baidu.com/zhaolinger%5F789/blog/item/5cdfb2c95d01571d7f3e6fcd.html页码，1/6

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xm(t)的傅立叶变换为xm(ω)＝Am2πδωm(ω)，即在ωm处有一条单一的谱线。矩形窗的傅立叶变换为

(4)

根据傅立叶变换的乘积定理，m(t)的傅立叶变换为xm(ω)和WT(ω)的卷积

若不计相位的变化，m(ω)的幅值如图1所示。可以看出m(ω)已不再是单一的谱线，而是分布在整个频率轴上，这就是说能量不再集中，即产生了泄漏现象。谐波分析中，各次谐波所泄漏的能量会相互影响，造成误差。 Fig.1 The leakage of spectrum

对于离散傅立叶变换(DFT)来说，从频率的离散化得到

图1 泄漏的产生

(6)

式中 Δω＝2π/T。离散化的频谱如图2所示。 Fig.2 The discrete spectrum of x(n)

从图2可以看出，如果不是整周期采样，即信号ωm不是Δω的整倍数，那么即使信号只含有单一频率，DFT也不可能求出信号的准确参数，这一现象通常叫做栅栏效应。

插值算法可以消除栅栏效应引起的误差，而谐波间的泄漏引起的误差则需用加窗的方法来消除。 3 余弦窗的特性

余弦窗的一般表达式为

图2 x(n)的离散频谱

(7)

式中 K是余弦窗的项数。K＝0时，就是矩形窗。为了满足插值计算的需要，对系数ak有如下限制

设幅值为1的矩形窗为w0(n)＝1，n＝0，1，…，N－1，它的离散傅立叶变换DFT称为狄里克来核(Dirichlet)

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余弦窗的特点是它的DFT表达式很简单，可以表示为狄里克来核的代数和

(10)

不同K值和系数ak决定了不同的窗，K＝1时，a0＝0.54，a1＝0.46，为哈明窗，a0＝a1＝0.5为海宁窗；K＝2，a0＝0.42，a1＝0.50，a2＝0.08时为布莱克曼窗。

图3给出了K＝0、…、3时窗的对数频谱。可以看出，当K增大时，旁瓣衰减增大，因而能够更好地抑制泄漏，同时也可看到主瓣宽度随K值而增加，因而K值也不宜选得太大。

Fig.3 The logarithm spectrum of the window functions 选用余弦窗的一个主要原因在于它便于进行频

谱计算。通常信号加窗都是在时域进行的，即xw(t)＝x(t)w(t)，然后进行傅立叶变换。而对于余弦窗，可以先对信号进行傅立叶变换，然后在频域进行处理。设离散信号x(n)的频谱为X(θ) ，则由公式(10)可以得出

图3 窗函数的对数频谱

(11)

这一特点便于我们导出下面的插值方法。 4 插值方法

为简便起见，设采样间隔Δt＝1，DFT的频率分辨率Δf＝1/T＝1/(Δt．N)＝1/N。对于单一频率信号

xm(t)＝Amej2πfmt(12)

可以得出(13)

对于离散频谱，θ仅能取0…N－1 之间的整数值。设fm在频率lΔf和(l＋1) Δf之间，l为整数，即

fm＝(l＋λ)Δf 0≤λ<1 (14)

则当λ<0.5时，｜X(l)｜取得极大值；当λ>0.5时，｜X(l＋1)｜取得极大值，并且由(13)式得到

Xm(l＋n)＝AmD(n－λ), n为整数 (15)

此式代入(11)，得到加窗信号的频谱在整数采样点的数值为

设定如下系数

(17)

式中 Xmw(l)和Xmw(l＋1)是相邻的两个峰值点。

由于通常N都取得较大(N≥1024)，而且λ<1，因此可以做以下近似

利用公式(16)和(17)，即可求出K值时插值点的准确的λ值。

将λ代入公式(14)，即可得到准确的频率fm。将λ代入公式(16)，即可得到准确的复振幅Am，从而求出准确的幅值｜Am｜和相位φm。

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电力系统谐波分析的高精度FFT算法_灵秀空间5 插值公式

下面讨论K＝0,…,3时的插值公式。

当K＝0时，由于窗系数ak不满足公式(8b)，我们须对公式(17)做些修正，令

(18)

从而可求出

(19)

频率仍用(14)式，幅值用(16)式得到

(20)

相位计算可用下式

(21)

当K＝1时，选用海宁窗，可以算出

(22)

代入公式(16)可以得出复幅值

(23)

相位用复幅值Am算出

(24)

当K＝2时，选用布莱克曼窗，可以得到

(25)

求出λ在0和1之间的根后，利用(14)式可算出频率fm，利用公式(16)可算出幅值Am，并利用公式(24)计算相位φm。当K＝3时，选用布莱克曼-哈里斯窗，可以得到

α＝－［－12.914＋1.223(λ2－1)－0.2836(λ－1)4］(λ＋3)/［(0.2836λ4－1.223λ2＋12.914)(λ－4)］(26)

其余参数计算过程同上。 6 模拟分析结果

加窗插值方法具有很高的精度，尤其是在以下两个方面：一是对于相位的计算。FFT所算出的相位误差很大，根本无法用于谐波分析。而该方法使相位精度得到显著提高，因而使得谐波分析、阻抗计算有了切实的依据。二是能够有效地抑制谐波之间，或杂波及噪声的干扰。即使对于幅值较小的偶次谐波，在FFT中经常被大幅值奇次谐波的泄漏所淹没，该方法也能准确地算出其各项参数。

以下提供一组计算实例，信号幅值为电力系统实测谐波参数，相位参数为自拟，基波为50Hz工频，采样频率为3000Hz，数据长度为1024采样点：

Tab.1 Parameters of harmonic signal

表1 谐波信号参数

谐波fk基波二次三次四次五次六次七次八次九次十次十一次幅值Ak2400.1

0.12.70.052.1

00.300.6相位φk0°10°20°30°40°50°60°

-80°

-100°

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为节省篇幅，表2仅列出了用FFT算法及用海宁窗（K＝1）和布莱克曼-哈里斯窗（K＝3）时的计算结果，图4 给出了计算误差曲线。可以看出FFT的结果误差大，尤其是相位的计算结果根本是不可用的。加窗后精度提高了三、四个数量级，而当K＝3时精度最高，尤其是相位计算准确，完全可以满足电力系统谐波分析的要求。

表2 FFT算法与加窗插值算法计算结果比较

Tab.2 Comparison of FFT and windowed interpolation 频率

100

150

200

250

350

450

550

FFT49.805102.539149.414202.148249.023348.633448.242547.852K＝150.00099.870150.000199.984250.000350.000450.000550.000K＝350.00099.987150.000199.998250.000350.000450.000550.000幅值241.0

0.1

12.010.76712.00012.00020°

0.10.6070.1000.10030°

2.72.2152.7002.70040°

2.11.5892.1002.10060°

0.30.3740.3000.30080°

0.60.3800.6000.600100°

FFT237.8431.118K＝1240.0000.102K＝3240.0000.100相位

0°

10°

FFT12.047183.29858.817197.951111.765154.132204.725225.310K＝10.000417.13220.00631.25440.00660.00179.99599.998K＝30.000010.72720.00130.11140.00160.00080.000100.000

Fig.4 Comparison of errors of FFT and windowed interpolation

7 结论

本文提出的高精度FFT算法应用于谐波测量，十分有效地提高了测量精度,这对电力系统中的谐波管理与治理是很有必要的。采用加窗插值方法对FFT进行修正，减少了泄漏，有效地抑制了谐波之间，或杂波及噪声的干扰，从而可以精确测量到各次谐波电压和电流的幅值及相位，并计算得到谐波功率、谐波功率流向和谐波阻抗。基于该算法的电力

系统谐波测量软件经模拟实验，结果十分理想。

图4 FFT与加窗插值法的误差比较

张伏生西安交通大学电力工程系，副教授。主要从事电力系统运行与控制，电力系统谐波分析与测量研究。耿中行空军装备技术部第一研究所，博士后，高级工程师。主要研究方向：信号处理，小波分析与应用及机械故障诊断。

葛耀中西安交通大学电力工程系，教授，博士生导师。

作者单位：张伏生耿中行葛耀中（西安交通大学电力工程系，710049 西安）耿中行（空军装备技术部第一研究所，100076 北京）葛耀中（西安交通大学电力工程系，710049 西安）

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